Equació de Kardar–Parisi–Zhang

La equació KPZ (per les inicials dels seus creadors, Mehran Kardar, Giorgio Parisi i Vaig vore-Cheng Zhang) és una equació diferencial estocàstica en derivades parcials i no llineal. Descriu la variació temporal de la gruixa $\varphi (\overrightarrow{x},t)$ d'una làmina. És un bon model de creiximent de superfícies. Ve donada per l'expressió:

$\frac{\partial \varphi (\overrightarrow{x},t)}{\partial t}=\nu {\mathrm{\nabla }}^2\varphi +\frac{\lambda }{2}{\left[\mathrm{\nabla }\varphi \right]}^2+\eta (\overrightarrow{x},t)$

a on $\eta (\overrightarrow{x},t)$ és un soroll gaussiano blanc que els seus primer i segon moments estan donats per

$⟨\eta (\overrightarrow{x},t)⟩=0𝚢⟨\eta (\overrightarrow{x},t)\eta ({\overrightarrow{x}}^{\prime },t^{\prime })⟩=2D{\delta }^d(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}^{\prime })\delta (t-t^{\prime }),$

i $\nu$, $\lambda$ i $D$ són paràmetros del model; $d$ és la dimensió de la làmina i és un concepte prou important en la resolució de l'equació i afecta al tipo de solució. En concret:

1. si $d<2$ l'equació té una sola fase "asprosa" en la que les fluctuacions de $\varphi$ divergixen algebraicamente en el tamany del sistema, desestabilisant qualsevol comportament estudiat;
2. si $d>2$ l'equació presenta una "fase decorreguda" —un acoplament dèbil— per a $\lambda$ lo suficientment menuda. En esta fase, les fluctuacions són chicotetes i el comportament és coherent globalment. L'estudi de les correlació espacials i temporals tira que:

$⟨\varphi (x_1,t)\varphi (x_2,t)⟩\sim \frac{1}{r^{d-2}}𝚢⟨\varphi (x,t_1)\varphi (x,t_2)⟩\sim \frac{1}{t^{\frac{d-2}{2}}}$