Equació de Degasperis-Procesi

En física matemàtica, la equació de Degasperis-Procesi és una de les dos úniques equacions en solucions exactes en la següent família d' EDPs de tercer orde, no llineals i dispersivas:

$u_t-u_{xxt}+2\kappa u_x+4u{u}_x=3u_x{u}_{xx}+u{u}_{xxx}$

$u_t-u_{xxt}+2\kappa u_x+(b+1)u{u}_x=b{u}_x{u}_{xx}+u{u}_{xxx},$

a on $\kappa$ i b són paràmetros reals en b=3 per a l'equació de Degasperis-Procesi. Va ser descobert per Degasperis i Procesi en una busca d'equacions integrables similars en forma a l'equació de Camassa-Holm, que és l'atra equació integrable en esta família, la corresponent a b=2; estes dos equacions són els únics casos integrables que s'han verificat utilisant una varietat de proves de integrabilidad diferents. Encara que es va descobrir únicament per les seues propietats matemàtiques, l'equació de Degasperis-Procesi en $\kappa >0$ ha demostrat més vesprada que eixercita un paper similar en la teoria de les ones d'aigua que l'equació de Camassa-Holm.

Solucions de solitón

Entre les solucions de l'equació de Degasperis-Procesi (en el cas especial $\kappa =0$) es troben les anomenades solucions multipicos, que són funcions de la forma:

$u(x,t)=\sum _{i=1}^n{m}_i(t)e^{-|x-x_i(t)|}$

a on les funcions $m_i$ and $x_i$ satisfan a:

${\dot{x}}_i=\sum _{j=1}^n{m}_j{e}^{-|x_i-x_j|},{\dot{m}}_i=2m_i\sum _{j=1}^n{m}_j\mathrm{sgn}(x_i-x_j)e^{-|x_i-x_j|}.$

Estes EDVos poden ser resoltes explícitament en térmens de funcions elementals, usant métodos espectrals inversos.

Quan $\kappa >0$ les solucions de solitón de l'equació de Degasperis-Procesi són suaus, convergixen a picos en el llímit quan $\kappa$ tendix a zero.

Solucions discontínues

L'equació de Degasperis-Procesi, en $\kappa =0$, és formalment equivalent a la llei de conservació hiperbòlica.

${\partial }_{t}u+{\partial }_x[\frac{u^2}{2}+\frac{G}{2}*\frac{3u^2}{2}]=0,$

a on

• $G(x)=\exp (-|x|)$
• La estrela denota convolución sobre x. En esta formulació, admet solucions dèbils en un grau molt baix de regularitat, inclús discontínues com les ones de choc.

Per contrast, la formulació corresponent de l'equació de Camassa-Holm conté una convolución que involucra a abdós $u^2$ i $u_x^2$, lo que només té sentit si la o es troba en l'espai Sobolev. $H^1=W^{1,2}$ sobre x. Pel teorema de Sobolev, açò significa en particular que les solucions dèbils de l'equació de Camassa-Holm deuen ser contínues sobre x.

Bibliografia

• Plantilla:Dead link
• Plantilla:Dead link