Efecte Voigt

Archiu:EffetMOenanglais.png

Esquema de l'efecte Kerr polar, efecte Kerr llongitudinal i efecte Voigt.

El efecte Voigt és un fenomen magneto-òptic que produïx una rotació i eliptización de la llum polarisada linealment en travessar un mig ópticamente actiu. A diferència de molts uns atres efectes magneto-òptics com l'efecte Kerr o l'efecte Faraday, que són linealment proporcionals a la magnetisació (o al camp magnètic aplicat en un material no magnetizado), l'efecte Voigt és proporcional al quadrat de la magnetisació (o al quadrat del camp magnètic) i pot observar-se experimentalment en incidència normal.

Existixen vàries denominacions per a este efecte en la lliteratura:

• El efecte Cotton-Mouton (en referència als científics francesos Aimé Cotton i Henri Mouton),
• El efecte Voigt (en referència al físic alemà Woldemar Voigt),
• La birrefringencia magnètic-llineal.

Esta última denominació és més precisa des del punt de vista físic, ya que l'efecte Voigt consistix en una birrefringencia magnètica del material, en un índex de refracció paralel ($n_{\parallel }$) i un atre perpendicular ($n_{\perp }$) al vector de magnetisació o al camp magnètic aplicat.

Formalisme

Per a una ona incident electromagnètica polarisada linealment $\overrightarrow{E_i}=\left(\begin{array}{c}\cos \beta \\ \sin \beta \\ 0\end{array}\right)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ i una mostra polarisada en el pla $\overrightarrow{m}=\left(\begin{array}{c}\cos \varphi \\ \sin \varphi \\ 0\end{array}\right)$, l'expressió de la rotació en geometria de reflexió $\delta \beta$ és:

$$\delta {\beta }_r=\frac{2\Delta n}{n_0^2-1}\sin [2(\varphi -\beta )]$$

i en la geometria de transmissió:

$$\delta {\beta }_t=\frac{B_1+n_0^2[\frac{2L\omega }{c}(1+n_0)Q_i{Q}_r+Q_r^2-Q_i^2]}{n_0(1+n_0)}$$

a on:

• $\Delta n=\frac{n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}$ és la diferència dels índexs de refracció depenent del paràmetro de Voigt,
• $Q=Q_i+i{Q}_r$ (expressió anàloga a la de l'efecte Kerr),
• $n_0$ és l'índex de refracció del material,

• $B_1$ és el paràmetro responsable de l'efecte Voigt, proporcional a $M^2$ o a $({\mu }_{0}H{)}^2$ en el cas d'un material paramagnético.

El càlcul detallat i una ilustració es presenten en les seccions següents.

Teoria

Archiu:Reperefig2.png

Marque i sistema de coordenades per a la derivació de l'efecte Voigt. ${\overrightarrow{E}}_i$, ${\overrightarrow{E}}_r$ i ${\overrightarrow{E}}_t$ representen els camps electromagnètics incident, reflectit i transmés, respectivament.

De la mateixa manera que en atres efectes magneto-òptics, la teoria es desenrolla de manera estàndar per mig de l'us d'un tensor dielèctric efectiu, a partir del com es calculen els valors propis i els vectores propis del sistema. Els fenomens magneto-òptics es descriuen principalment pels elements fòra de la diagonal d'este tensor.

Ací es considera una polarisació incident que es propaga en la direcció z: $\overrightarrow{E_i}=\left(\begin{array}{c}\cos \beta \\ \sin \beta \\ 0\end{array}\right)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ com el camp elèctric, i una mostra magnetizada homogéneamente en el pla $\overrightarrow{m}=\left(\begin{array}{c}\cos \varphi \\ \sin \varphi \\ 0\end{array}\right)$, a on $\varphi$ es medix des de la direcció cristalográfica [100]. L'objectiu és calcular $\overrightarrow{E_r}=\left(\begin{array}{c}\cos \beta +\delta \beta \\ \sin \beta +\delta \beta \\ 0\end{array}\right)e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$, a on $\delta \beta$ és la rotació de polarisació deguda a l'acoplament de la llum en la magnetisació. Note's que $\delta \beta$ és experimentalment una cantitat menuda, de l'orde de milirradianes (mrad). $\overrightarrow{m}$ és el vector de magnetisació reduïda, definit per $\overrightarrow{m}=\overrightarrow{M}/M_s$, sent $M_s$ la magnetisació de saturació. Ya que el vector de propagació de la llum és perpendicular al pla de magnetisació, és possible observar l'efecte Voigt.

Tensor dielèctric

Seguint la notació de Hubert, el tensor dielèctric cúbic generalisat ${ϵ}_r$ s'expressa com:

$$(1){ϵ}_r=ϵ\left[\begin{array}{ccc}1& 0& iQ{m}_y\\ 0& 1& -iQ{m}_x\\ -iQ{m}_y& iQ{m}_x& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{B}_1{m}_x^2& B_2{m}_x{m}_y& 0\\ B_2{m}_x{m}_y& B_1{m}_y^2& 0\\ 0& 0& B_1{m}_z^2\end{array}\right]$$

a on:

• $ϵ$ és la constant dielèctrica del material,
• $Q$ és el paràmetro de Voigt,
• $B_1$ i $B_2$ són dos constants cúbiques que descriuen l'efecte magneto-òptic dependent de $m_i^2$,
• $m_i=M_i/M_s$ són les components reduïdes de la magnetisació.

El càlcul es realisa en l'aproximació esfèrica en $B_1=B_2$. No hi ha evidència de que esta aproximació siga inválida, ya que l'observació de l'efecte Voigt és rara per la seua magnitut extremadament chicoteta en comparació a l'efecte Kerr.

Valors propis i vectores propis

Per a calcular els valors propis i els vectores propis, es considera l'equació de propagació derivada de les equacions de Maxwell, en la convenció $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{k}c/\omega$:

$$(2)n^2\overrightarrow{E}-\overrightarrow{n}(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{E})=ϵ\overrightarrow{E}$$

Quan la magnetisació és perpendicular al vector d'ona de propagació (a diferència de l'efecte Kerr), $\overrightarrow{E}$ pot tindre els seus tres components distintes de zero, lo que fa que els càlculs siguen més complicats i que les equacions de Fresnel deixen de ser vàlides. Una forma de simplificar el problema és utilisar el vector de desplaçament elèctric $\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{E}$. Ya que $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{D}=0$ i $\overrightarrow{k}\parallel \overrightarrow{z}$, es té $\overrightarrow{D}=\left(\begin{array}{c}{D}_x\\ D_y\\ 0\end{array}\right)$. La desventaja és que es deu treballar en el tensor dielèctric invers, la qual cosa pot ser complicat.

Ací el càlcul es realisa en el cas general, encara que pot seguir-se fàcilment considerant $\varphi =0$. Els valors propis i vectores propis es troben resolent l'equació de propagació en $\overrightarrow{D}$, lo que dona el següent sistema d'equacions:

$$(3)\{\begin{array}{c}({ϵ}_{xx}^{-1}-\frac{1}{n^2})D_x+{ϵ}_{xy}^{-1}{D}_y=0\\ \\ {ϵ}_{yx}^{-1}{D}_x+({ϵ}_{yy}^{-1}-\frac{1}{n^2})D_y=0\end{array}$$

a on ${ϵ}_{ij}^{-1}$ representa l'element $ij$ de l'invers del tensor dielèctric ${ϵ}_r$, i $n^2=ϵ$. Despuix de calcular el determinant del sistema i desenrollar fins a segon orde en $Q$ i primer orde en $B_1$, s'obtenen dos valors propis corresponents als dos índexs de refracció:

$$n_{\parallel }^2=ϵ+B_1$$ $$n_{\perp }^2=ϵ(1-Q^2)$$

Els vectores propis corresponents per a $\overrightarrow{D}$ i per a $\overrightarrow{E}$ són:

$$(4){\overrightarrow{D}}_{\parallel }=\left(\begin{array}{c}\cos (\varphi )\\ \sin (\varphi )\\ 0\end{array}\right){\overrightarrow{D}}_{\perp }=\left(\begin{array}{c}-\sin (\varphi )\\ \cos (\varphi )\\ 0\end{array}\right){\overrightarrow{E}}_{\parallel }={ϵ}^{-1}{\overrightarrow{D}}_{\parallel }=\left(\begin{array}{c}\frac{\cos (\varphi )}{B_1+ϵ}\\ \frac{\sin (\varphi )}{B_1+ϵ}\\ 0\end{array}\right){\overrightarrow{E}}_{\perp }={ϵ}^{-1}{\overrightarrow{D}}_{\perp }=\left(\begin{array}{c}\frac{\sin (\varphi )}{(Q^2-1)ϵ}\\ \frac{\cos (\varphi )}{(1-Q^2)ϵ}\\ \frac{-iQ}{(1-Q^2)ϵ}\end{array}\right)$$

Geometria de reflexió

Relaciones de continuïtat

Coneixent els vectores propis i els valors propis dins del material, es pot calcular $\overrightarrow{E_r}=\left(\begin{array}{c}{E}_{rx}\\ E_{ry}\\ 0\end{array}\right)$, el vector electromagnètic reflectit que sol detectar-se en els experiments. Per a això s'utilisen les equacions de continuïtat per a $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{H}$, a on $\overrightarrow{H}$ és l'inducció magnètica definida a partir de les equacions de Maxwell per $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H}=\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$. Dins del mig, el camp electromagnètic es descompon en els vectores propis: ${\overrightarrow{E}}_t=\alpha {\overrightarrow{E}}_{\parallel }+\beta {\overrightarrow{E}}_{\perp }$. El sistema d'equacions a resoldre és:

$$(5)\{\begin{array}{c}\alpha \left(\frac{D_{y\parallel }}{n_{\parallel }}\right)+\beta \left(\frac{D_{y\perp }}{n_{\perp }}\right)+E_{ry}=E_{0y}\\ \\ \alpha \left(\frac{D_{x\parallel }}{n_{\parallel }}\right)+\beta \left(\frac{D_{x\perp }}{n_{\perp }}\right)+E_{rx}=E_{0x}\\ \\ \alpha E_{x\parallel }+\beta E_{x\perp }-E_{rx}=E_{0x}\\ \\ \alpha E_{y\parallel }+\beta E_{y\perp }-E_{ry}=E_{0y}\end{array}$$

La solució d'este sistema és:

$$(6)E_{rx}=E_0\frac{(1-n_{\perp }{n}_{\parallel })\cos (\beta )+(n_{\perp }-n_{\parallel })\cos (\beta -2\varphi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}$$ $$(7)E_{ry}=E_0\frac{(1-n_{\perp }{n}_{\parallel })\sin (\beta )-(n_{\perp }-n_{\parallel })\sin (\beta -2\varphi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}$$

Càlcul de l'àngul de rotació

L'àngul de rotació $\delta \beta$ i la elipticidad $\psi$ es definixen a partir de la relació $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ per mig de les següents fòrmules:

$$(8)\tan 2\delta \beta =\frac{2\mathrm{Re}(\chi )}{1-|\chi {|}^2}(9)\sin (2{\psi }_K)=\frac{2\mathrm{Im}(\chi )}{1-|\chi {|}^2},$$

a on $\mathrm{Re}(\chi )$ i $\mathrm{Im}(\chi )$ representen les parts real i imaginària de $\chi$. Usant els dos components calculats prèviament, s'obté:

$$(10)\chi =\frac{(B_1+n_0^2{Q}^2)}{2n_0(n_0^2-1)}\frac{\sin [2(\varphi -\beta )]}{\cos (\beta {)}^2}+\tan (\beta ).$$

Açò dona per a la rotació de Voigt:

$$(11)\delta \beta =\mathrm{Re}\left[\frac{B_1+n_0^2{Q}^2}{2n_0(n_0^2-1)}\right]\sin [2(\varphi -\beta )],$$

que també pot reescriure's en el cas de $B_1$, $n_0$ i $Q$ reals com:

$$(12)\delta \beta =\frac{2\Delta n}{n_0^2-1}\sin [2(\varphi -\beta )],$$

a on $\Delta n=\frac{n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}$ és la diferència dels índexs de refracció. S'obté una cantitat proporcional a $\Delta n$ que depén de la polarisació llineal incident. Quan $\varphi -\beta =0$ no s'observa rotació de Voigt. $\Delta n$ és proporcional al quadrat de la magnetisació, ya que $B_1\propto M_s^2$ i $Q\propto M_s$.

Geometria de transmissió

El càlcul de la rotació de l'efecte Voigt en transmissió és, en principi, equivalent al de l'efecte Faraday. En la pràctica, esta configuració no s'utilisa generalment per a mostres ferromagnéticas, ya que la llongitut d'absorció és chicoteta en este tipo de materials. No obstant, la geometria de transmissió és més comuna en líquits paramagnéticos o cristals, a on la llum pot viajar fàcilment a través del material.

El càlcul per a un material paramagnético és exactament el mateix que per a un ferromagnético, excepto que la magnetisació es reemplaça per un camp ${\mu }_0\overrightarrow{H}={\mu }_0{H}_0\left(\begin{array}{c}\cos \varphi \\ \sin \varphi \end{array}\right)$ (en $H_0$ en $A/m$ o $G$). El camp s'incorpora al final del càlcul en els paràmetros magneto-òptics.

Considerant les ones electromagnètiques transmeses ${\overrightarrow{E}}_t$ que es propaguen en un mig de llongitut L, de l'equació (5) s'obté per a $\alpha$ i $\beta$:

$$\alpha =\frac{2E_0{n}_{\parallel }\cos (\theta -\varphi )}{1+n_{\parallel }}$$ $$\beta =\frac{2E_0{n}_{\perp }^2\sin (\theta -\varphi )}{n_{\perp }+1}$$

En la posició z = L, l'expressió de ${\overrightarrow{E}}_t$ és:

$$(13){\overrightarrow{E}}_t=e^{-i\omega [t+\frac{(n_{\parallel }+n_{\perp })L}{2c}]}[\alpha {\overrightarrow{E}}_{\parallel }{e}^{i\frac{\omega \Delta nL}{c}}+\beta {\overrightarrow{E}}_{\perp }{e}^{-i\frac{\omega \Delta nL}{c}}]$$

a on ${\overrightarrow{E}}_{\parallel }$ i ${\overrightarrow{E}}_{\perp }$ són els vectores propis calculats prèviament, i $\Delta n=\frac{n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}$. La rotació es calcula a partir de la relació $\chi =\frac{E_{t_y}}{E_{t_x}}$, en desenroll en primer orde en $B_1$ i segon orde en $Q$. Açò dona:

$$(14)\chi =\frac{c-i\omega L(1+n_0)(B_1+n_0{Q}^2)\sin [2(\beta -\varphi )]}{4c{n}_0(1+n_0){\cos }^2(\beta )}=\frac{c-i\omega L(1+n_0)\Delta n\sin [2(\beta -\varphi )]}{c(1+n_0){\cos }^2(\beta )}$$

Novament s'obté una expressió proporcional a $\Delta n$ i a $L$. Note's que $\Delta n$ és proporcional a $({\mu }_0{H}_0{)}^2$, de forma similar a lo que ocorre en la geometria de reflexió per a la magnetisació. Per a extraure la rotació de Voigt, es considera $n_0=\eta +i\kappa$, $Q=Q_r+i{Q}_i$ i $B_1$ real. Es calcula la part real de (14) i se substituïx en (8). En l'aproximació d'absència d'absorció, s'obté per a la rotació de Voigt en geometria de transmissió:

$$(15)\delta \beta =({\mu }_{0}H{)}^2\frac{B_1+n_0^2[\frac{2L\omega }{c}(1+n_0)Q_i{Q}_r+Q_r^2-Q_i^2]}{n_0(1+n_0)}$$

Vore també

• Filtre atòmic de llínea
• Efecte Cotton-Mouton
• Efecte Faraday
• Efecte Kerr magneto-òptic
• Birrefringencia

Bibliografia

• Zvezdin, Anatoly Konstantinovich (1997). Modern Magneto-Optics and Magneto-Optical Materials, Taylor & Francis Group. ISBN 978-0-7503-0362-0.
• Landau, L. D.; Lifshitz, {{{nom2}}} (1984). Electrodynamics of Continuous Mija, 2.ª edició, Pergamon Press. ISBN 978-0-08-030275-1.
• Born, M.; Wolf, {{{nom2}}} (1999). Principles of Optics, 7.ª edició, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4.