Desigualtat de Finsler-Hadwiger

En matemàtiques, la desigualtat de Finsler-Hadwiger és un teorema sobre triànguls en el pla euclidiano, nomenat en referència a Hugo Hadwiger i Paul Finsler. Afirma que si un triàngul té costats en llongituts a, b i c i àrea T, then

$a^2+b^2+c^2\ge (a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4\sqrt{3}T\text{(HF)}.$

La desigualtat de Weitzenböck és un corolari de la desigualtat de Finsler-Hadwiger:

$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}T\text{(W)}.$

Esta última desigualtat també pot demostrar-se a partir de la fòrmula de Herón, obtenint l'igualtat en (W) si i només si el triàngul és equilátero (i per tant $(a-b)=(b-c)=(c-a)=0$).

La desigualtat de Finsler-Hadwiger és un cas particular de la desigualtat de Pedoe.

Referències

• (1937).«Einige Relationen im Dreieck».Commentarii Mathematici Helvetici.10(1)

316–326.doi:10.1007/BF01214300.