Descomposició Helmholtz

En física i matemàtiques, en el camp del càlcul vectorial, la teorema de Helmholtz, també conegut com la teorema fonamental del càlcul vectorial, afirma que qualsevol camp vectorial tridimensional que siga lo prou suau i que decaiga lo prou ràpit pot ser descompost en la suma d'un camp vectorial irrotacional (sense rotor) més atre solenoidal (sense divergència); açò es coneix com la seua descomposició Helmholtz en honor a Hermann von Helmholtz.

Açò implica que qualsevol camp vectorial $𝐅$ que complixca les condicions està generat per un parell de potencials: un potencial escalar $\phi$ i un potencial vector $𝐀$.

Teorema

Siga $𝐅$ un camp vectorial en ${ℝ}^3$ que siga de classe $C^2$ i que decaiga més ràpit que $\frac{1}{r}$ en l'infinit. Llavors, $𝐅$ és la suma d'un gradient i un rotor com seguix:

a on:

$\phi$ representa un potencial escalar.

$𝐀$ representa un potencial vector.

A on:

$\phi (𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\int }\frac{\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }-\frac{1}{4\pi }\underset{S}{\int }\frac{𝐅({𝐫}^{\prime })\cdot {𝐝𝐒}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|},$

$𝐀(𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\int }\frac{\mathrm{\nabla }\times 𝐅({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }+\frac{1}{4\pi }\underset{S}{\int }\frac{𝐅({𝐫}^{\prime })\times {𝐝𝐒}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}.$

Si $𝐅$ té divergència nula, $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=0$, llavors F rep el nom de camp solenoidal, i la seua descomposició Helmholtz es reduïx a:

En este cas, $𝐀$ es coneix com el potencial vectorial de $𝐅$. Esta elecció concreta de potencial vector té divergència nula, condició que en física es denomina de Coulomb.

De forma similar, si $𝐅$ té rotor nul, $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=0$, es denomina camp irrotacional, i la seua descomposició Helmholtz es reduïx a:

En este cas, $\phi$ es coneix com el potencial escalar de $𝐅$.

En general $𝐅$ és la suma d'estos térmens,

a on el gradient negatiu del potencial escalar és la component irrotacional, mentres que el rotor del potencial vector és la component solenoidal.

Campos en divergència i rotacional donats

El nom "teorema de Helmholtz" també pot referir-se a lo següent: siga $𝐂$ un camp vectorial i $d$ un escalar en ${ℝ}^3$ lo suficientment suaus i que decauen més ràpit que $\frac{1}{r^2}$ en l'infinit. Llavors, existix un camp vectorial $𝐅$ tal que $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=d$ i $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=C$. Si ademés s'especifica la condició de que $𝐅$ s'anule en $r\to \mathrm{\infty }$, llavors $𝐅$ és únic.

És dir, donats una divergència i rotacional es pot construir el camp vectorial associat, i si ademés s'indica que este s'anula en l'infinit, està especificat de forma única per la seua divergència i el seu rotor. Esta teorema és de gran importància en electrostàtica, ya que les equacions de Maxwell per als camps elèctric i magnètic en el cas estàtic són exactament del tipo descrit. La prova es construïx generalisant la donada dalt, establint