Deducció del mòdul de la suma

Este artícul presenta una deducció per a l'expressió del mòdul resultant de dos vectores (vore vector (física) i mòdul (vector)) d'un espai vectorial (sobre els número real).

Deducció

Siguen dos vectores $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$ que formen un àngul $\theta$ entre sí:

Image de vectores colocats

La fòrmula per a calcular $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$ es deduïx observant els triànguls rectànguls que es formen, OCB i ACB, i aplicant el Teorema de Pitágoras. En el triàngul OCB:

Resultant:

En el triàngul ACB :

Substituint açò en l'igualtat d'abans resulta:

${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^2={(|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\cos \theta )}^2+{(|\overrightarrow{b}|\sin \theta )}^2$

${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta +|\overrightarrow{b}{|}^2{\cos }^2\theta +|\overrightarrow{b}{|}^2{\sin }^2\theta$

${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta +|\overrightarrow{b}{|}^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )$

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1\Rightarrow {|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta +|\overrightarrow{b}{|}^2$

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta +|\overrightarrow{b}{|}^2}$

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta }$