Criteri de Chebychev-Grübler-Kutzbach

El criteri de Chebychev-Grübler-Kutzbach determina el número de graus de llibertat d'una cadena cinemàtica, és dir, d'un acoplament de cossos rígits per mig de restriccions mecàniques.^[1] Estos dispositius també es denominen enllaços.

El criteri de Kutzbach també es denomina fòrmula de movilitat perque calcula el número de paràmetros que definixen la configuració d'un enllaç a partir del número d'enllaços i nucs i el grau de llibertat en cada nuc.

S'han dissenyat enllaços interessants i útils que violen la fòrmula de movilitat per mig de l'us de característiques i dimensions geomètriques especials per a proporcionar més movilitat que la predita per esta fòrmula. Estos dispositius es denominen mecanismes sobrerrestringidos.

Fòrmula de movilitat

La fòrmula de movilitat conta el número de paràmetros que definixen les posicions d'un conjunt de cossos rígits i després reduïx este número per les restriccions que imponen les juntes que conecten estos cossos.^[2]^[3]

Imagina una gavina esfèrica. Un sol cos sense restriccions que vola en l'espai tridimensional té 6 graus de llibertat: 3 de translació (digam, x, i, z); i 3 rotacionales (per eixemple, alabeo, cabotege, guiñada).

Llavors, un sistema de $n$ cossos rígits desconectats que es mouen en l'espai (una bandada de $n$ gavines volant) té $6 n$ graus de llibertat medits en relació en un marc fix (sistema de coordenades). El marc fix es pot elegir arbitrariamente (un observador en qualsevol lloc de la plaja). I l'enquadrament pot ser inclús local o subjectiu: des del punt de vista d'una de les gavines, el món es mou al seu entorn, mentres ella permaneix fixa. Llavors, este marc pot incloure's en el reconte de cossos (la bandada de gavines vista des de la gavina elegida A, tal volta A està de peu en la plaja, tal volta A està volant, pero mirant a la bandada des del punt de vista local fix de A), i, per tant, la movilitat és independent de l'elecció de l'enllaç que formarà el marc fix. Llavors el grau de llibertat d'este sistema és $M = 6 (N - 1),$ on $N = n + 1$ és el número de cossos en moviment més el cos fix.

Les articulacions que conecten cossos en este sistema eliminen graus de llibertat i reduïxen la movilitat. Específicament, les frontices i els deslizadores imponen cada u cinc restriccions i, per lo tant, eliminen cinc graus de llibertat. És convenient definir el número de restriccions $c$ que una articulació impon en térmens de la llibertat de l'articulació $f,$ a on $c = 6 - f .$ En el cas d'una frontiça o corredera, que són unions d'un grau de llibertat, tenen $f = 1$ i en conseqüència $c = 6 - 1 = 5.$

El resultat és que la movilitat d'un sistema format per $n$ moure enllaços i $j$ juntes cada una en llibertat $f_{i}$ per $i = 1, ..., j,$ és donat per

M = 6 n - \sum_{i = 1}^{j} (6 - f_{i}) = 6 (N - 1 - j) + \sum_{i = 1}^{j} f_{i} .

Recordar que $N$ inclou l'enllaç fix.

Hi ha dos casos especials importants: (i) una cadena oberta simple i (ii) una cadena tancada simple. Una cadena oberta simple consta de $n$ enllaços en moviment conectats d'extrem a extrem per $j$ juntes, en un extrem conectat a un enllaç de terra. Aixina, en este cas $N = j + 1$ i la movilitat de la cadena és

M = \sum_{i = 1}^{j} f_{i}

Per a una cadena tancada simple, $n$ Els enllaços mòvils estan conectats d'extrem a extrem per $n + 1$ unions de manera que els dos extrems estiguen conectats a l'enllaç de terra formant un bucle. En este cas, tenim $N = j$ i la movilitat de la cadena és

M = \sum_{i = 1}^{j} f_{i} - 6

Un eixemple d'una cadena oberta simple és un manipulador de robot en série. Estos sistemes robòtics es construïxen a partir d'una série d'enllaços conectats per sis articulacions prismàtiques o giratòries d'un grau de llibertat, per lo que el sistema té sis graus de llibertat.

Un eixemple d'una cadena tancada simple és l'enllaç espacial de quatre barres RSSR. La suma de les llibertats d'estos nucs és huit, per lo que la movilitat del varillaje és dos, a on un dels graus de llibertat és el gir de l'acoplador al voltant de la llínea que unix els dos nucs en S.

Moviment pla i esfèric

És una pràctica comuna dissenyar el sistema d'articulació de modo que el moviment de tots els cossos estiga restringit a descansar en plans paralels, per a formar lo que es coneix com a articulació plana. També és possible construir el sistema d'enllaç per a que tots els cossos es moguen sobre esferes concèntriques, formant un enllaç esfèric. En abdós casos, els graus de llibertat dels esclavons en cada sistema ara són tres en lloc de sis, i les restriccions impostes per les juntes ara són c = 3 − f.

En este cas, la fòrmula de movilitat ve donada per

M = 3 (N - 1 - j) + \sum_{i = 1}^{j} f_{i},

i els casos especials es convertixen

cadena oberta simple plana o esfèrica,

M = \sum_{i = 1}^{j} f_{i},

cadena tancada simple plana o esfèrica,

M = \sum_{i = 1}^{j} f_{i} - 3.

Un eixemple d'una cadena plana simple tancada és l'esclavó pla de quatre barres, que és un bucle de quatre barres en quatre unions d'un grau de llibertat i, per lo tant, té movilitat M = 1.

Vore també

Referències

↑ Jorge Angeles, Clifford Truesdell (1989). Rational Kinematics, Springer, p. Chapter 6, p. 78ff. ISBN 978-0-387-96813-1.
↑ J. J. Uicker, G. R. Pennock, and J. E. Shigley, 2003, Theory of Machines and Mechanisms, Oxford University Press, New York.
↑ J. M. McCarthy and G. S. Soh, Geometric Design of Linkages, 2nd Edition, Springer 2010

Este artícul conté una traducció derivada de «Criterio de Chebychev-Grübler-Kutzbach» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Truesdell-1] Jorge Angeles, Clifford Truesdell (1989). Rational Kinematics, Springer, p. Chapter 6, p. 78ff. ISBN 978-0-387-96813-1.

[Uicker2003-2] J. J. Uicker, G. R. Pennock, and J. E. Shigley, 2003, Theory of Machines and Mechanisms, Oxford University Press, New York.

[3] J. M. McCarthy and G. S. Soh, Geometric Design of Linkages, 2nd Edition, Springer 2010

[1]

[2]

[3]