Cos de Sears-Haack

Cos de Sears–Haack

El cos de Sears-Haack és la forma d'un sòlit en la menor resistència teòrica en el fluix supersònic, per a una llongitut corporal determinada i un volum donat. El desenroll matemàtic supon que el fluix és supersònic, és dir, de chicotet destorbament o fluix linealizado, que es rig per l'equació de Prandtl-Glauert. El desenroll i la «forma» varen ser publicades independentment per dos investigadors separats: Wolfgang Haack en 1941 i més vesprada per William Sears en 1947.

La teoria indica que la resistència aerodinàmica és proporcional al quadrat de la segona derivada de la distribució de l'àrea. $D_{\text{wave}}\sim [S^{″}(x){]}^2$ (vore expressió completa a continuació), per lo que per a una resistència aerodinàmica baixa és necessari que $S(x)$ siga suau. Per lo tant, el cos de Sears-Haack té una en cada extrem i creix suaument fins a un màxim i després disminuïx suaument cap al segon punt.

Fòrmules útils

L'àrea de secció travessera d'un cos Sears-Haack és

$S(x)=\frac{16V}{3L\pi }[4x(1-x){]}^{3/2}=\pi R_{\text{max}}^2[4x(1-x){]}^{3/2},$

el volum d'un cos Sears-Haack és

$V=\frac{3{\pi }^2}{16}{R}_{\text{max}}^{2}L,$

el radi d'un cos Sears-Haack és

$r(x)=R_{\text{max}}[4x(1-x){]}^{3/4},$

la derivada (gradient) és

$r^{\prime }(x)=3R_{\text{max}}[4x(1-x){]}^{-1/4}(1-2x),$

la segona derivada és

$r^{″}(x)=-3R_{\text{max}}\{[4x(1-x){]}^{-5/4}(1-2x{)}^2+2[4x(1-x){]}^{-1/4}\},$

a on:

Símbol	Nom
$x$	Relació entre la distància des de la nas fins a la coa, és dir, la llongitut total del cos, relació que està sempre entre 0 i 1
$r$	Radi local
$R_{\text{max}}$	Radi en el seu màxim (es produïx en el centre de la forma)
$V$	Volum
$L$	Llongitut

De la «teoria dels cossos prim» es té que:^{cita requerida}

$D_{\text{wave}}=-\frac{1}{4\pi }\rho U^2\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}{S}^{″}(x_1)S^{″}(x_2)\ln |x_1-x_2|\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2,$

i alternativament:

$D_{\text{wave}}=-\frac{1}{2\pi }\rho U^2\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}{S}^{″}(x)\mathrm{d}x\underset{0}{\overset{x}{\int }}{S}^{″}(x_1)\ln (x-x_1)\mathrm{d}{x}_1.$

Estes fòrmules es poden combinar per a obtindre lo següent:

$D_{\text{wave}}=\frac{64V^2}{\pi L^4}\rho U^2=\frac{9{\pi }^3{R}_{max}^4}{4L^2}\rho U^2,$

$C_{D_{\text{wave}}}=\frac{24V}{L^3}=\frac{9{\pi }^2{R}_{max}^2}{2L^2},$

a on:

Símbol	Nom
$D_{\text{wave}}$	Resistència aerodinàmica
$\rho$	Densitat del decorregut
$U$	Velocitat

Generalisació de R.T. Jones

La consecució de la forma del cos de Sears-Haack és correcta solament en el llímit d'un «cos esvelt». La teoria s'ha generalisat a formes primes pero «no axisimétricas» —no simètriques respecte a l'eix— per Robert T. Jones en NACA Report 1284. En esta expressió, l'àrea $S(x)$ es definix com el con de Mach el vèrtiç del qual està en un lloc $x$, en lloc d'en el $x=\text{constant}$ de l'avió com ho varen assumir Sears i Haack. Per lo tant, la teoria de Jones fa que siga aplicable a formes més complexes com a aeronaus supersòniques com un cos complet.

Vore també

• Transformació Prandtl-Glauert
• Aerodinàmica
• Cos antichoque
• Regla de l'àrea