Conjectura de Painlevé

La configuració de cinc cossos de Jeff Xia consta de cinc masses puntuals, en dos parelles d'elles dispostes en òrbites elíptiques excèntriques una al voltant de l'atra i una massa movent-se a lo llarc de la llínea de simetria. Xia va demostrar que per a certes condicions inicials, la massa final serà accelerada a velocitat infinita en temps finito. Esta configuració permet demostrar la conjectura de Painlevé per a cinc cossos en l'espai tridimensional.

En física, la conjectura de Painlevé és una proposició sobre les singularitats entre les solucions del problema dels n cossos, que afirma que existixen singularitats sense colisions per a n ≥ 4.

Va ser plantejada en 1895 pel matemàtic i polític francés Paul Painlevé (1863-1933).

La conjectura ha segut provada per a n ≥ 5 per Jeff Xia. El cas en 4 partícules seguix sent un problema obert.

Antecedents

Les solucions $(𝐪,𝐩)$ del problema dels n cossos $\dot{𝐪}=M^{-1}𝐩,\dot{𝐩}=\mathrm{\nabla }U(𝐪)$ (a on M són les masses i O indica el potencial gravitatorio) es diu que tenen una singularitat si existix una seqüència d'instants $t_n$ que convergixen a un $t^{*}$ finito a on $\mathrm{\nabla }U\left(𝐪\left(t_n\right)\right)\to \mathrm{\infty }$. És dir, les forces i acceleració es tornen infinites en algun instant finito en el temps.

Una "singularitat de colisió" es produïx si $𝐪(t)$ tendix a un llímit definit quan $t\to t^{*},t<t^{*}$. Si el llímit no existix, la singularitat es denomina singularitat de pseudocolisión o sense colisió.

Paul Painlevé va demostrar que per a n = 3 qualsevol solució en una singularitat de temps finito experimenta una singularitat en colisió. No obstant, no va poder estendre este resultat més allà de 3 cossos. Les seues conferències d'Estocolm de 1895 terminen en la conjectura de que:

Per a n ≥ 4 el problema dels n cossos admet singularitats sense colisió.

Desenroll

Edvard Hugo von Zeipel va demostrar en 1908 que si existix una singularitat de colisió, llavors $J(𝐪(t))$ tendix a un llímit definit com $t\to t^{*}$, a on $J(𝐪)=\sum _i{m}_i|{𝐪}_i{|}^2$ és el moment d'inèrcia. Açò implica que una condició necessària per a una singularitat sense colisió és que la velocitat d'a lo manco una partícula es fa illimitada (posat que les posicions $𝐪$ permaneixen finitas fins a este punt).

Mather i McGehee varen conseguir demostrar en 1975 que una singularitat sense colisió pot donar-se en el problema co-llineal de 4 cossos (és dir, en tots els cossos en una llínea), pero solament despuix d'un número infinit de colisions binarias (regularisades).

Donald G. Saari va demostrar en 1977 que para casi totes les condicions inicials (en el sentit de la mida de Lebesgue) en el pla o l'espai per a problemes de 2, 3 i 4 cossos existixen solucions sense singularitat.

En 1984, Joe Gerver va donar un argument per a una singularitat de no colisió en el problema planar de 5 cossos sense colisions. Posteriorment va trobar una prova per al cas de cos 3n .

Per últim, en la seua tesis doctoral de 1988, Jeff Xia va demostrar una configuració de 5 cossos que experimenta una singularitat sense colisió.

Joe Gerver ha facilitat un model heurístic per a l'existència de singularitats de 4 cossos pero en l'actualitat no existix cap prova formal.