Conjectura de Beal

La conjectura de Beal és una conjectura en teoria de números proposta per Andrew Beal al voltant de 1993; una conjectura similar va ser sugerida independentment en eixes dates per Andrew Mattew.

Mentres investigava generalisacions del última teorema de Fermat, Beal va formular la següent conjectura: Si

$A^x+B^y=C^z,$

a on A, B, C, x, i, z són sancers positius en x, i, z > 2 llavors A, B, i C deuen tindre un factor comú primer.

Beal va oferir un premi inicial, que s'ha incrementat en els anys fins al valor actual d'un milló de dólars. El premi s'entregarà per una demostració d'esta conjectura o per un contraeixemple.

Eixemples

Per a ilustrar la solució, 3³ + 6³ = 3⁵ té les seues bases en un factor comú 3, i la solució 7⁶ + 7⁷ = 98³ té les bases en un factor comú 7. De fet, l'equació té infinites solucions, incloent, per eixemple

${\left[a(a^n+b^n)\right]}^n+{\left[b(a^n+b^n)\right]}^n={(a^n+b^n)}^{n+1}$

per a qualsevol sancer $a\ge 1$, $b\ge 1$, $n\ge 3$. Pero tal solució de l'equació no és un contraeixemple de la conjectura, ya que totes les bases tenen el factor $a^n+b^n$ en comú.

Atres eixemples de regles de formació són els següents:

$3^{3n}+[2(3^n){]}^3=3^{3n+2},n\ge 1;$

$(a^n-1{)}^{kn}+(a^n-1{)}^{kn+1}=[a(a^n-1{)}^k{]}^n,a\ge 2,k\ge 1,n\ge 3;$

$[a(a^{kn}+b^n){]}^{kn}+[b(a^{kn}+b^n{)}^k{]}^n=(a^{kn}+b^n{)}^{kn+1},a\ge 1,b\ge 1,k\ge 1,n\ge 3.$

La condició de que els exponents siguen majors que 2 es deu a que si un dels exponents és igual a 2 la conjectura és falsa. El contraeixemple 7³ + 13² = 2⁹ dona mostra d'això.

Verificació numèrica

La busca per ordenador, molt accelerada, per mig de l'ajuda d'aritmètica modular, esta conjectura ha segut verificada per a tot valor de les sis variables fins a 1000. Aixina, en un hipotètic contraeixemple, a lo manco una de les variables deu ser major que 1000.

La conjectura de Beal és una generalisació de l'última teorema de Fermat, que correspon al cas $x=y=z$. Si $a^x+b^x=c^x$ en $x\ge 3$; llavors, o les bases són coprimas o compartixen un factor comú. Si estes compartixen un factor comú, es pot traure de cada una d'elles per a obtindre una equació més menuda, en bases coprimas.

Ya que l'última teorema de Fermat afirma que no existixen solucions sanceres no nules $a^x+b^y=c^z$ per a $x=y=z$ a on x>2, llavors tampoc existiran solucions en els sancers positius, podent afirmar que la conjectura de Beal és certa en este cas particular.

La conjectura no és vàlida sobre un domini més gran de sancers gaussianos. En acabant de que s'oferira un preu de 50$ per un contraeixemple, Fred W. Helenius va proporcionar el següent: (−2 + i)³ + (−2 − i)³ = (1 + i)⁴.