Classe Laguerre–Pólya

La classe Laguerre – Pólya és la classe de funcions completes que consistix en aquelles funcions que són localment el llímit d'una série de polinomis les raïls dels quals són totes reals. Qualsevol funció de la classe Laguerre – Pólya també és de classe Pólya.

El producte de dos funcions en la classe també està en la classe, per lo que la classe constituïx un monoide baixe l'operació de la multiplicació de funcions.

Algunes propietats d'una funció $E(z)$en la classe Laguerre – Pólya són:

• Totes les raïls són reals.
• $|E(x+iy)|=|E(x-iy)|$ per a x i i real.
• $|E(x+iy)|$ és una funció no decreixent de i para i positiu.

Una funció és de la classe Laguerre – Pólya si i solament si es complixen tres condicions:

• Les raïls són totes reals.
• Els zeros no nuls z_n satisfan

$\sum _n\frac{1}{|z_n{|}^2}$ convergix, en zeros contats segons el seu multiplicitat)

• La funció pot expressar-se en forma d'un producte Hadamard.

$z^m{e}^{a+bz+c{z}^2}\prod _n(1-z/z_n)\exp (z/z_n)$

en b i c reals i c no positius. (El sancer m no negatiu serà positiu si I (0) = 0. Tinga en conte que si el número de zeros és infinit, és possible que tinga que definir cóm prendre el producte infinit).

Eixemples

Alguns eixemples són $\mathrm{sen}(z),\cos (z),\exp (z),\exp (-z),\text{y }\exp (-z^2).$

Per una atra part, $\sinh (z),\cosh (z),\text{and }\exp (z^2)$ no estan en la classe Laguerre – Pólya.

Per eixemple,

$\exp (-z^2)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-z^2/n{)}^n.$

El coseno es pot fer de més d'una manera. Ací hi ha una série de polinomis que tenen totes les raïls reals:

$\cos z=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }((1+iz/n{)}^n+(1-iz/n{)}^n)/2$

I ací hi ha un atre:

$\cos z=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{m=1}^n(1-\frac{z^2}{((m-\frac{1}{2})\pi {)}^2})$

Açò mostra l'acumulació del producte Hadamard per al coseno.

Si reemplacem z² en z, tenim una atra funció en la classe:

$\cos \sqrt{z}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{m=1}^n(1-\frac{z}{((m-\frac{1}{2})\pi {)}^2})$

Un atre eixemple és la funció gamma recíproca 1 / Γ(z). És el llímit de polinomis com seguix:

$1/\Gamma (z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n!}(1-(\ln n)z/n{)}^n\prod _{m=0}^n(z+m).$