Circumferència exinscrita

Una circumferència exinscrita a un triàngul és una circumferència tangente a un dels costats del triàngul i a les prolongacions dels atres dos.

Al centre de la circumferència exinscrita se li crida exincentro. Es poden traçar tres circumferències exinscritas per a cada triàngul.

Definició

Siga ABC un triàngul (en vert en la figura). Tracem els seus costats, considerats com a rectes (en negre). Les bisectrices interiors i exteriors (en roig) es intersecan en quatre punts: un és el centre del círcul inscrit (en pardo), i els demés són centres dels círculs exinscritos (en groc). Estos últims estan "inscrits" en el sentit de que són tangentes simultàneament als tres costats, i es troben a l'exterior del triàngul, d'ahí la seua apelació.

Cada parella de bisectrices exteriors, i per conseqüència la prolongació de l'atra interior, es tallen en un exincentro (com s'observa en la figura), que són el centre, respectivament, de cada una de les tres circumferències tangentes a un costat i a la prolongació dels atres dos.

Per a demostrar que dos bisectrices exteriors de dos ànguls d'un triàngul i la bisectriz interna del tercer àngul concorren prengam, per eixemple, la bisectriz interior en A i les exteriors en B i C:

• Primer constatem que no poden ser paraleles, perque els costats del triàngul no ho són.
• En segon lloc considerem l'intersecció de les dos bisectrices procedents de B i C. Este punt, A', és per definició equidistant dels costats (AB) i (CB) per una part, i de (AC) i (BC) per una atra, per lo tant és equidistant de (CA) i (BA), després pertany a una bisectriz procedent de A. No pot ser la bisectriz exterior que es troba fòra del sector angular BAC mentres que A' està dins, per lo tant és la bisectriz interior.

Per lo anterior, el punt A' és equidistant dels tres costats (AB), (AC) i (BC). Siga d esta distància comuna. Llavors el círcul de centre A' i de ràdio d és tangente als tres costats del triàngul ABC.

Propietats

• Una circumferència exinscrita està en l'exterior d'un triàngul, llevat el punt de tangència que pertany , exactament. a un dels costats del triàngul.

• Les bisectrices exteriors i interiors són normals entre sí.
• A les circumferències exinscritas i la circumferència inscrita se'ls crida circumferències tritangentes al triàngul.
• Les bisectrices interiors són les altures del triàngul A'B'C' en la figura anterior, lo que permet trobar el triàngul inicial a partir dels tres círculs exinscritos.

Vore també

• Incentro
• Circumcentre
• Circumferència inscrita
• Circumferència circumscrita