Còdic de Gauss

Plantilla:Maltraducido Un còdic de Gauss, del nom del matemàtic Carl Friedrich Gauss és una llista de números que codifica una curva plana tancada que presenta llaços. Ha segut estés a la codificació d'un nuc, i inclús d'un enllaç.

Històric

Archiu:Epitrocho3.gif

En un artícul de 1823, Gauss es propon de demostrar que una curva planeja tancada de $N$ arrollamientos (número de regressos sobre sí mateixa efectuades per un observador que recorre la curva) posseïx a lo manco $N-1$ llaços ($N⩾1$).

En ocasió d'esta demostració, va introduir el còdic que du el seu nom, definit en el paràgraf següent.

Com visualisat ací, una curva circular en $n$ llaços té un índex de rotació igual a $N=n+1$ : posseïx el número mínim de llaços de $N-1$.

Definició

Per curva, se sent ací una curva tancada, tenint una tangente en tots punts, i els punts múltiples dels quals, en número finito, són tots dobles i transversos (tangentes no confoses), que seran denominats ací llaços. Això equival topológicamente a un grafo planar 4-regular (4 arestes que partixen de cada vèrtiç), els llaços corresponents a les vèrtiços del grafo (per grafo, se sent grafo no orientat i acceptant les arestes múltiples).

Dos curves són equivalents, si són imàgens mútuament correspostes per un homomorfisme del pla.

Havent numerat arbitrariamente d'1 a $n$ estos llaços, i havent triat arbitrariamente un punt d'eixida sobre la curva, i un sentit de recorregut, el còdic de Gauss de la curva és llavors la llista dels $n$ números dels llaços que s'obtenen successivament quan s'efectua un recorregut complet sobre la curva.

Trobar en la figura que hi ha davall els còdics de Gauss de les curves que corresponen a les proyeccions dels nuc de trébol i nuc de huit. Es pot senyalar que abdós curves de tenen el mateix còdic de Gauss, pero no són equivalents en el pla (lo són en canvi sobre l'esfera).

Un còdic de Gauss és sempre una llista de $2n$ números entre 1 i $n$ , cada u repetit dos volta, que designarem per paraula de Gauss.

Anotem que el número de paraules de Gauss és el coeficient multinomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2,2,\mathrm{...},2})=(2n)!/2^n$.

• 
  Curva a 7 llaços en el seu còdic i el seu diagramo de Gauss.
• 
  Còdics de Gauss de curves a 3 o 4 llaços.
• Erro al crear miniatura:
  Els 3,5,15 curves a respectivament 3,4,5 llaços enumerades per Nagy.