Antidiferencial

En el càlcul de diferències finitas, l'operador de la suma indefinida, també conegut com a operador de antidiferencial, denotat per $\sum _x$ o ${\Delta }^{-1}$, és l'operador llineal que és l'inversa del operador de diferència|operador de diferència directa, $\Delta$:

$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x).$

Es relaciona en l'operador de diferència directa de la mateixa manera que l'integral indefinida es relaciona en la derivada. De la mateixa manera que l'integral indefinida resol la família de funcions que es deriven en $f$, la suma indefinida resol quina família de funcions té $f$ com la seua diferència directa.

Si $\sum _{x}f(x)=F(x)$, llavors $F$ satisfà l'equació funcional

$F(x+1)-F(x)=f(x).$

L'aplicació de l'operador de diferència cap a avant a una suma indefinida torna la funció original:

$\Delta \sum _{x}f(x)=f(x).$

En la notació $\sum _{x}f(x)$, la variable $x$ eixercita el mateix paper que la variable índex en una suma discreta; indica l'argument en el que es deu evaluar la antidiferencia. El subíndex $x$ actua com un marcador de posició, anàlec al $k$ en $\sum _{k=0}^{x-1}f(k)$, i especifica que la antidiferencia $F$ és una funció de $x$.

La solució $F(x)$ no és única: si $F(x)$ és una solució, llavors per a qualsevol funció 1-periòdica $C(x)$ (és dir, $C(x+1)=C(x)$), la funció $F(x)+C(x)$ també és una solució. Per lo tant, una suma indefinida és única fins a una funció periòdica d'1 periodo $C(x)$ en lloc de fins a una constant $C$ com lo és l'integral indefinida.

Per a obtindre la solució única fins a una constant $C$, cal impondre restriccions adicionals. La «solució principal de Nørlund» és la solució analítica única que té el tipo exponencial mínim possible, filtrant qualsevol component periòdica no constant.

Teorema fonamental del càlcul de diferències finitas

Les sumes indefinides poden utilisar-se per a calcular sumes definides per mig de la fòrmula:

$\sum _{k=a}^{b}f(k)={\Delta }^{-1}f(b+1)-{\Delta }^{-1}f(a).$

Alternativament, utilisant l'operador de diferència inversa cap a arrere, la relació és:

$\sum _{k=a}^{b}f(k)={\mathrm{\nabla }}^{-1}f(b)-{\mathrm{\nabla }}^{-1}f(a-1).$

Eixemples

Artícul principal → Llista de sumes indefinides.

Les següents sumes indefinides bàsiques es deriven de les propietats fonamentals de l'operador de la diferència, a on $C(x)$ representa una funció arbitrària de periodo 1 (o una constant si se supon la solució principal de Nørlund):

Constant:

$\sum _{x}c=cx+C(x)$

Exponencial:

$\sum _x{a}^x=\frac{a^x}{a-1}+C(x)a\ne 1$

Logaritmo:

$\sum _x\ln x=\ln \Gamma (x)+C(x)$

Factorial descendent

Artícul principal → Factorials descendent i ascendent.

El factorial descendent proporciona l'anàlec discret de la regla de la potència del càlcul diferencial. En el càlcul infinitesimal, $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$. En el càlcul de diferències finitas, el factorial descendent

$(x{)}_n=x^{\underset{\_}{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\frac{\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}$

eixercita el paper de $x^n$, i l'operador de diferència cap a avant satisfà

$\Delta (x{)}_n=n(x{)}_{n-1}.$

La suma indefinida d'un factorial decreixent ve donada per l'anàlec discret de la regla de la potència per a l'integració:

$\sum _x(x{)}_n=\frac{(x{)}_{n+1}}{n+1}+C(x),n\ne -1.$

Equivalentement, utilisant la funció gamma:

$\sum _x\frac{\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}=\frac{\Gamma (x+1)}{(n+1)\Gamma (x-n)}+C(x),n\ne -1.$

Per al cas en el que $n=-1$, la solució és la funció digamma en un desplaçament, $\psi (x+1)+C(x)$, que amplia naturalment els números harmònics.

Eixemple: Suma dels primers $x$ quadrats. Utilisant $k^2=(k{)}_2+(k{)}_1$ i la fòrmula de suma indefinida anterior,

$\sum _k{k}^2=\frac{(k{)}_3}{3}+\frac{(k{)}_2}{2}+C(k).$

Aplicant la teorema fonamental del càlcul de diferències finitas,

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^x{k}^2& ={(\frac{(k{)}_3}{3}+\frac{(k{)}_2}{2})|}_0^{x+1}\\ & =(\frac{(x+1{)}_3}{3}+\frac{(x+1{)}_2}{2})-(\frac{(0{)}_3}{3}+\frac{(0{)}_2}{2})\\ & =\frac{(x+1{)}_3}{3}+\frac{(x+1{)}_2}{2}.\end{array}$

Desenrollant els factors decreixents,

$(x+1{)}_3=(x+1)x(x-1),(x+1{)}_2=(x+1)x,$

i simplificant s'obté la fòrmula

$\sum _{k=0}^x{k}^2=\frac{x(x+\frac{1}{2})(x+1)}{3}.$

Suma per parts

Artícul principal → Suma per parts.

La suma per parts indefinida és l'anàlec discret de l'integració per parts. Es deriva de la regla del producte per a l'operador de diferència cap a avant.

Regla del producte. Per a dos funcions $u(x)$ i $v(x)$, la regla del producte per a la diferència cap a avant és:

$\Delta (u(x)v(x))=u(x)\Delta v(x)+v(x+1)\Delta u(x).$

Introduint el “”'operador de desplaçament'“” $\mathrm{E}$, definit per $\mathrm{E}f(x)=f(x+1)$, açò es pot escriure de forma més compacta com:

$\Delta (uv)=u\Delta v+\mathrm{E}v\Delta u.$

Suma per parts. Reorganisant la regla del producte s'obté:

$u(x)\Delta v(x)=\Delta (u(x)v(x))-v(x+1)\Delta u(x).$

Prenent la suma indefinida d'abdós costats i utilisant el fet de que $\sum _x\Delta F(x)=F(x)+C(x)$ (a on $C(x)$ és una funció arbitrària de periodo 1), s'obté la fòrmula de la suma per parts:

$\sum _{x}u(x)\Delta v(x)=u(x)v(x)-\sum _{x}v(x+1)\Delta u(x)+C(x).$

Una forma simètrica, obtinguda també a partir de la regla del producte, és:

$\sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _x\Delta f(x)\Delta g(x)+C(x).$

Suma definida per parts. Per a sumes definides des de $a$ fins a $b$, la fòrmula es convertix en:

$\sum _{k=a}^{b}u(k)\Delta v(k)=[u(b+1)v(b+1)-u(a)v(a)]-\sum _{k=a}^{b}v(k+1)\Delta u(k).$

Eixemple: producte d'un polinomi i una exponencial

La suma per parts és eficaç per a funcions com $k{2}^k$. Per a trobar la suma indefinida $\sum _{k}k{2}^k$, siga $u(k)=k$ i $\Delta v(k)=2^k$. Llavors:

• $\Delta u(k)=(k+1)-k=1$
• $v(k)=\sum _k{2}^k=\frac{2^k}{2-1}=2^k$
• $\mathrm{E}v(k)=v(k+1)=2^{k+1}$

Aplicant la fòrmula de la suma per parts:

$\sum _{k}k{2}^k=k\cdot 2^k-\sum _k{2}^{k+1}\cdot 1+C(k).$

La suma restant és elemental:

$\sum _k{2}^{k+1}=2\sum _k{2}^k=2\cdot 2^k=2^{k+1}.$

Per lo tant, la suma indefinida (antidiferencia) és

$F(k):=\sum _{k}k{2}^k=k{2}^k-2^{k+1}+C(k)=(k-2)2^k+C(k).$

Per a calcular la suma definida des de $0$ fins a $x$, utilisem la teorema fonamental en l'inversa de la diferència directa:

$\sum _{k=0}^{x}k{2}^k=F(x+1)-F(0).$

Substituint l'expressió de $F$:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^{x}k{2}^k& =[(x+1-2)2^{x+1}]-[(0-2)2^0]\\ & =(x-1)2^{x+1}-(-2)\\ & =(x-1)2^{x+1}+2.\end{array}$

Per lo tant, per a qualsevol sancer no negatiu $x$,

$\sum _{k=0}^{x}k{2}^k=(x-1)2^{x+1}+2.$

Vore també

• Producte indefinit
• Llista de derivades i integrals en càlculs alternatius

Bibliografia

• "Difference Equations: An Introduction with Applications", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X
• Markus Müller. How to Add a Senar-Integer Number of Terms, and How to Produïx Unusual Infinite Summations
• Markus Mueller, Dierk Schleicher. Fractional Sums and Euler-like Identities
• Indefinite summation of rational functions with additional minimization of the summable part. Programmirovanie, 2008, Vol. 34, No. 2.
• "Finite-Difference Equations And Simulations", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968