Algoritme de Borwein

L'algoritme de Borwein és un algoritme desenrollat per Jonathan i Peter Borwein que permet el càlcul d'1/π.

Algoritme

Es procedix de la següent forma:

• Es comença en els valors

  $a_0=6-4\sqrt{2}$

  $y_0=\sqrt{2}-1$

• Despuix es itera en les següents fòrmules

  $y_{k+1}=\frac{1-(1-y_k^4{)}^{1/4}}{1+(1-y_k^4{)}^{1/4}}$

  $a_{k+1}=a_k(1+y_{k+1}{)}^4-2^{2k+3}{y}_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^2)$

Es té que a_k posseïx una convergència cuártica 1/π; és dir, en cada iteración es multiplica per quatre, aproximadament, el número de dígits correcte.

El grau de convergència s'obté de la següent desigualtat:

$|\frac{1}{\pi }-a_n|\le 16(4^n)(e^{-2\pi 4^n})$

Vore també

• Algoritme de Gauss-Legendre
• Fòrmula de Bailey-Borwein-Plouffe