Agulla de Buffon

Un ràpit experiment per a estimar π, donant el valor de 34/11≈3.1 basat en 17 llançaments.

L'agulla A està creuant la llínea mentres que l'agulla B no.

Les agulles roges i blaves estan centrades en x. La roja cau dins de l'àrea grisa, continguda per un àngul de 2θ en cada costat, per lo que creua la llínea vertical; la blava no ho fa. La proporció del círcul que és gris és lo que s'integra a mida que el centre x va de 0 a 1

Simulació en el applet Descartes. Es llança n voltes una agulla la mida de la qual és igual a la distància entre dos llínees roges i es conten les voltes (c) que l'agulla toca alguna llínea, n/c·2 s'aproxima a pi quan n és gran

Resultat obtingut per al valor n/c·2 despuix de més de 1000 millons de tirades

La agulla de Buffon és un clàssic problema de provabilitat geomètrica, de realisació pràctica i l'interés de la qual radica que és un método fàcil per a anar aproximant el valor del número π a partir de successius intents. Va ser plantejat pel naturaliste francés Buffon en 1733 i reproduït per ell mateixa ya resolt en 1777.

Es tracta de llançar una agulla sobre un paper en el que s'han traçat rectes paraleles distanciades entre sí de manera uniforme. Es pot demostrar que si la distància entre les rectes és igual a la llongitut de l'agulla, la provabilitat de que l'agulla creue alguna de les llínees és $2/\pi$.

D'eixa manera:

$\pi \approx \frac{2N}{A}$

sent N el número total d'intents i Al número de voltes que l'agulla ha creuat alguna llínea.

Si l'agulla és més curta que la distància entre les rectes la provabilitat disminuïx proporcionalment al cocient entre la llongitut de l'agulla i la distància entre les rectes, prenent el valor $2L/(D\pi )$ a on L és la llongitut de l'agulla i D la interdistancia entre les rectes.

En este cas:

$\pi \approx \frac{2NL}{AD}$

La tercera situació, en que la llongitut de l'agulla és major que la distància entre les rectes du a un resultat prou més complicat.

Una generalisació òbvia d'este problema és el problema de l'Agulla de Buffon-Laplace, a on l'agulla, en lloc de llançar-se sobre un paper rayado, es llança sobre una cuadrícula. Es diu de Buffon-Laplace puix encara que Buffon ho va resoldre també en 1777, la seua solució contenia un error. Va ser corregit per Laplace en 1812.

Solució

Plantejament

El plantejament matemàtic d'este problema és:

Siga una agulla de llongitut $\ell$ llançada sobre un pla segmentat per llínees paraleles separades $t$ unitats (vore image). ¿Quin és la provabilitat que l'agulla creue alguna llínea?