Índex de frustració

En anàlisis de rets socials, el índex de frustració o índex de llínea és el menor número d'arestes o conexions que es deuen llevar d'una ret signada per a que esta quede estructuralment equilibrada, entenent per equilibrada a una ret els cicles de la qual són tots positius (en el sentit de la multiplicació dels signes de les arestes que els conformen).

Definició

Formalment, donat un grafo signado $G=(V,E,w)$, a on $V$ és el conjunt de vèrtiços, $E$ el conjunt d'arestes, i $f:E\to \{-1,1\}$ una funció que a cada aresta li assigna un pes positiu o negatiu. Siga $E^{*}\subseteq E$ un conjunt d'arestes tals que en eliminar-les, $G$ para a estar equilibrat, llavors l'índex de frustració és:

$$L(G)=\underset{E^{*}}{\min }|E^{*}|$$

Ademés, si $m=|E|$, llavors l'índex es pot normalisar com:

$$F(G)=1-\frac{L(G)}{m/2}$$

Història

Esta mida va ser definida originalment per Abelson y Rosenberg (1958) baix el nom de complexitat de desequilibri (en anglés, complexity of imbalance), com el «mínim número de canvis de relacions necessàries per a alcançar un equilibri», entenent per «canvi de relació» al canvi de signe d'una aresta. La seua finalitat va ser evaluar el nivell de desequilibri en una ret signada d'una manera més simple que el grau d'equilibri de Cartwright y Harary (1956), corresponent a la proporció de cicles positius en relació al total de cicles de la ret. En paralel, es va desenrollar l'equivalent índex de llínea (line index), definit per Harary (1959) com el mínim número d'arestes la negació de les quals (canvi de signe) o eliminació permet equilibrar la ret.

Anys més vesprada, la mida va ser rebatejada com a índex de frustració per Zasĺavsky (1987); segons Aref, Mason y Wilson (2018), inspirat a partir del concepte de frustració de Toulouse (1986), referit a l'energia mínima d'un model de vidre d'espin d'Ising.

Bibliografia

• (1958).«Symbolic psycho-logic: a model of attitudinal cognition».Behavioral Science.3(1)

1-13.doi:10.1002/bs.3830030102.

• (1959).«On the measurement of structural balanç».Behavioral Science.4(4)

316-323.doi:10.1002/bs.3830040405.

• Toulouse, G. (1986). «Theory of the frustration effect in spin glasses: I», Spin Glass Theory and Beyond, World Scientific, pp. 99-103. doi:10.1142/9789812799371_0009.

• (2013) Anàlisis de rets socials: Métodos i aplicacions, Madrit: Centre d'Investigacions Sociològiques. OCLC 871814053. ISBN 978-84-7476-631-8.
• (1987).«Balanced decompositions of a signed graph».Journal of Combinatorial Theory, Series B.43(1)

1-13.doi:10.1016/0095-8956(87)90026-8.