Àlgebra mijana

En matemàtica, un àlgebra mijana és un conjunt en un operador ternario < x,i,z > que satisfà els següents axiomas, els quals generalisen la noció de mijana o funció mayorante, com una funció booleana:

1. absorció per la dreta: $⟨u,v,v⟩=v$
2. simetria per la dreta: $⟨u,v,w⟩=⟨u,w,v⟩$
3. simetria per l'esquerra: $⟨u,v,w⟩=⟨v,u,w⟩$
4. transitividad: $⟨u,v,⟨u,w,x⟩⟩=⟨u,⟨u,v,w⟩,x⟩$

El segon i tercer axioma impliquen conmutatividad. És possible (pero no senzill) demostrar que en presència dels atres tres, el tercer axioma és redundante. El quart axioma implica asociatividad.

Existixen atres possibles sistemes axiomàtics, com per eixemple els següents dos axioma, que també són suficients:

• $⟨u,v,v⟩=v$
• $⟨u,v,⟨u,w,x⟩⟩=⟨u,x,⟨w,u,v⟩⟩$

En un àlgebra de Boole, o més general en un retícul distributivo, la funció mijana $⟨x,y,z⟩=(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x)$ satisfà estos axioma. Per lo tant, cada àlgebra de Boole i cada retícul distributivo formen un àlgebra mijana.

Birkhoff i Kiss varen demostrar que un àlgebra mijana en elements $0$ i $1$ que satisfan $⟨0,x,1⟩=x$ és un retícul distributivo.

Relació en grafos mijans

Un grafo mijà és un grafo no dirigit en que para qualssevol tres vèrtiços x, i, z existix un únic vèrtiç < x,i,z > que pertany als camins més curts entre tots els parells conformats per ells. Quan un grafo és mijà, l'operació < x,i,z > definix un àlgebra mijana els elements de la qual són els vèrtiços del grafo.

Al revés, en qualsevol àlgebra mijana, un pot definir un interval [x, z] com el conjunt d'elements i tals que < x,i,z > = i. Es pot definir aixina un grafo des d'un àlgebra mijana creant un vèrtiç per cada element de l'àlgebra i una aresta per cada parell (x, z) tal que l'interval [x, z] no continga elements adicionals. Si l'àlgebra posseïx la propietat de que cada interval siga finito, llavors este grafo és un grafo mijà, que és exactament representat per l'àlgebra, i en que l'operació mijana definida pels camins més curts en el grafo coincidixen en l'operació mijana de l'àlgebra original.