Edició de «Número decimal periòdic»

Un '''número decimal periòdic'''  és un [[número racional]] caracterisat per tindre un periodo (sifres que es repetixen indefinidament) en la seua [[Sistema de numeració decimal|expansió decimal]]. Este periodo pot constar d'una o vàries sifres, com
Les següents: 

: <math>
   \cfrac{1}{3} =
   0,\boldsymbol{3}\,333\dots
   \; ; \quad
  \cfrac{1}{7} =
  0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots
</math>  

El periodo es pot expressar escrivint un arc damunt de les sifres repetides, per eixemple:

: <math>
   \cfrac{2}{3} =
   0, \overset{\frown}{6}
   \; ; \quad
   \cfrac{12}{11} =
   1, \overset{\frown}{09}
</math>

== Tipos de números periòdics ==
*'''Número periòdic puro''': Quan immediatament despuix de la coma hi ha una o més sifres que es repetixen. 
**Eixemple: <math>0,999\dots = 0,\bar{9}</math>
*'''Número periòdic mixt''' (també cridat ''semiperiòdic''): Quan despuix de la coma hi ha una o més sifres que no es repetixen, seguides per una o més sifres que sí es repetixen. 
**Eixemple: <math>1.91222\dots = 1.91 \bar{2}</math>, en donde ''91'' es el anteperiodo.

== Fracció corresponent a un número periòdic ==
Una fracció pot donar un número decimal periòdic:

: <math>
   \begin{array}{l}
      \cfrac{1}{9}  = 0,111111111111...\\
      \cfrac{1}{7}  = 0,142857142857...\\
      \cfrac{1}{3}  = 0,333333333333...\\
      \cfrac{2}{27}  = 0,074074074074...\\
      \cfrac{7}{12} = 0,58333333333...
   \end{array}
</math>


Donat un número periòdic en la seua representació decimal, és possible
trobar la fracció que ho produïx (''fracció @generatriz''). Eixemple:
: <math>
   \begin{array}{rcll}

       x & = & 0,333333\ldots\\
     10x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}      \\
      9x & = & 3              & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\
                                                                                  \\
       x & = & \cfrac{3}{9} = \cfrac{1}{3}  & \text{(simplificando)}
   \end{array}
</math>

Atre eixemple:
: <math>
   \begin{array}{rcl}
         x & = & \;\;\; 2,85636363\ldots \\
      100x & = & 285,63636363\ldots \\
       99x & = & 282,78
   \end{array}
</math>

: <math>
   x =
   \frac{282,78}{99} =
   \frac{28278}{9900} =
   \frac{1571}{550}
</math>


El procediment anterior és general i permet enunciar les següents regles:

* '''Número periòdic puro''': La fracció d'un número decimal periòdic puro té:
** [[numerador]]: la diferència entre ''la part anterior al periodo'' seguida del ''periodo'' (tot escrit sense la coma, de corregut, com un únic número sancer) menys ''la part anterior al periodo''.
** [[denominador]]: tants '''9''' com a sifres té el ''periodo''
: Eixemple:

:: <math>
   5,34\ 34\dots =
   \frac{534-5}{99} =
   \frac{529}{99}
</math>

* '''Número periòdic mixt''': La fracció d'un número decimal periòdic mixt té:
** numerador: la diferència entre ''la part anterior al periodo'' seguida del ''periodo'' (tot escrit sense la coma, de corregut, com un únic @número sancer) menys ''la part anterior al periodo''.
** denominador: tants '''9''' com a sifres té el ''periodo'', seguits de tants '''0''' com a sifres té la part no periòdica.
: Eixemple:

:: <math>
   12,345\ 67\ 67\ 67\dots =
   \frac{1234567-12345}{99000} =
   \frac{1222222}{99000} =
   \frac{611111}{49500}
</math>

=== Tipo de número periòdic resultant ===
Donada una [[fracció irreductible]] (és dir, en la que numerador i denominador són [[Número primo|primos]] entre sí, i per tant no es pot simplificar més) és senzill saber si correspon a un número periòdic puro, mixt, o és un decimal exacte, sense necessitat de fer la divisió:
* Si en descompondre el denominador en [[Factor primer|factors primers]], estos són a soles el 2 i/o el 5, serà exacta. 


Per eixemple:

: <math>
   \cfrac{7}{20}
</math>

com:
: <math>
   20 = 2 \cdot 2 \cdot 5
</math>

serà exacta; en efecte
: <math>
   \cfrac{7}{20} =
   \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} =
   \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} \; \cfrac{5}{5} =
   \cfrac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)} =
   \cfrac{35}{100} =
   0,35
</math>

Atro eixemple:
: <math>
   \cfrac{7}{25}
</math>

com:
:<math>
    25 = 5 \cdot 5
</math>

serà exacta; en efect:
: <math>
   \cfrac{7}{25} =
   \cfrac{7}{5 \cdot 5} =
   \cfrac{7}{5 \cdot 5} \; \cfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} =
   \cfrac{7 \cdot 2 \cdot 2}{(5 \cdot 2)(5 \cdot 2)} =
   \cfrac{28}{100} =
   0,28
</math>

* Si en descompondre el denominador en factors primers, estos no contenen ni al 2 ni al 5, serà periòdica pura:

Per eixemple:
: <math>
   \cfrac{5}{21}
</math>

como:
: <math>
   21 = 3 \cdot 7
</math>

serà periòdica pura; en efecte:
: <math>
   \cfrac{5}{21} =
   0,238095\ 238095\ 238095\dots
</math>

* Si al descompondre el denominador en factors primos, éstos contenen al 2 ii/o al 5, i ademés algú atre factor, será periódica mixta:

Per eixemple:
: <math>
   \cfrac{5}{42}
</math>

como:
: <math>
   42 = 2 \cdot 3 \cdot 7
</math>

serà periòdica mixta, en efecte:
: <math>
   \cfrac{5}{42} =
   0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots
</math> 
mas no es segur un resultat pròxim. 

== Vore també ==
* [[0,9 periòdic]]
* [[Representació decimal]]
* {{Classificació números}}

== Referències ==

* {{cita libro
| apellidos = Jimenez Hernández
| nombre = José de Jesús
| título = Matemáticas 1
| editorial = Ediciones Umbral
| página = 66
}}
* {{MathWorld|RepeatingDecimal|Repeating Decimal}}

[[categoria:Matemàtiques]]
[[Categoria:Sistemes de numeració posicional]]
[[categoria:Fraccions]]
[[Categoria:Aritmètica elemental]]

{{Traduït de|es|Número decimal periódico}}