Regla de tres

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Anar a la navegació Anar a la busca

La regla de tres és una forma de resoldre problemes de proporcionalitat entre tres o més valors coneguts i una incògnita. En ella s'establix una relació de llinealitat (proporcionalitat) entre els valors involucrats.

Regla de tres és l'operació de trobar el quart terme d'una proporció coneixent els atres tres.[1][2][3]


La regla de tres més coneguda és la regla de tres simple directa, encara que també existix la regla de tres simple inversa i la regla de tres composta.

Regla de tres simple

En la regla de tres simple, s'establix la relació de proporcionalitat entre dos valors coneguts A i B, i coneixent un tercer valor X, calculem un quart valor. Y. [4]

<math>
  \begin{array}{ccc}
     A & \longrightarrow & B \\
     X & \longrightarrow & Y
  \end{array}

</math>

La relació de proporcionalitat pot ser directa o inversa, serà directa quan a un major valor de A hi haurà un major valor de B, i serà inversa, quan es de que, a un major valor de A corresponga un menor valor de B, vejam cada u d'eixos casos.


Regla de tres simple directa

Relación directa.svg

La regla de tres simple directa es fonamenta en una relació de proporcionalitat, per #lo que ràpidament s'observa que:

<math>
  \frac{B}{A} =
  \frac{Y}{X} =
  k

</math>

A on k és la constant de proporcionalitat, per a que esta proporcionalitat es complixca tenim que a un aument de A li correspon un aument de B en la mateixa proporció. Que podem representar:

<math>
  \left .
     \begin{array}{ccc}
        A & \longrightarrow & B \\
        X & \longrightarrow & Y
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad
  Y = \cfrac{B \cdot X}{A}

</math>


i direm que: A és a B directament, com a X és a Y, sent Y igual al producte de B per X dividit entre A.

Imaginem que se nos planteja lo següent:

Si necessite 8 litros de pintura per a pintar 2 habitacions, ¿quants litros necessite per a pintar 5 habitacions?

Este problema s'interpreta de la següent manera: la relació és directa, ya que, a major número d'habitacions farà falta més pintura, i ho representem aixina:

<math>
  \left .
     \begin{array}{ccc}
        2 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & 8 \; \text{litros} \\
        5 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & Y \; \text{litros}
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad

  Y =
  \cfrac{8 \; \text{litros} \cdot 5 \; \text{habitaciones} }{2 \; \text{habitacions} } =
  20 \; litros

</math>


Regla de tres simple inversa

Relación inversa.svg

En la regla de tres simple inversa,[5] en la relació entre els valors se cumplix que:

<math>
  A \cdot B =
  X \cdot Y =
  e

</math>

on e és un producte constant, per a que esta constant es conserve, tindrem que un aument de A, necessitara una disminució de B, per a que el seu producte permaneixca constant, si representem la regla de tres simple inversa, tindrem:

<math>
  \left .
     \begin{array}{ccc}
        A & \longrightarrow & B \\
        X & \longrightarrow & Y
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad
  Y = \cfrac{A \cdot B}{X}

</math>

i direm que: A és a B inversament, com a X és a Y, sent Y igual al producte de A per B dividit per X.

Si per eixemple tenim el problema:

Si 8 treballadors construïxen un mur en 15 hores, ¿quànt tardaran 5 treballadors en alçar el mateix mur?

Si s'observa en atenció el sentit de l'enunciat, resulta evident que quants més obrers treballen, menys hores necessitaran per a alçar el mateix mur (suponent que tots treballen al mateix ritme).

<math>
  8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} =
  5 \; \text{treballadors} \cdot Y \; \text{hores} =
  120 \; \text{hores de treball}

</math>

El total d'hores de treball necessàries per a alçar el mur són 120 hores, que poden ser aportades per un sol treballador que ampre 120 hores, 2 treballadors en 60 hores, 3 treballadors ho faran en 40 hores, etc. En tots els casos el número total d'hores permaneix constant.

Tenim per tant una relació de proporcionalitat inversa, i deurem aplicar una regla de tres simple inversa, tenim:

<math>
  \left .
     \begin{array}{ccc}
        8 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & 15 \; \text{hores} \\
        5 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & Y \; \text{hores}
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad
  Y = \cfrac{8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} }{5 \; \text{treballadors} } =
  24 \; \text{hores}

</math>


Regla de tres composta

En ocasions el problema plantejat involucra més de tres cantitats conegudes, ademés de la desconeguda.[6] Observem el següent eixemple:


Si 12 treballadors construïxen un mur de 100 metros en 15 hores, ¿quants treballadors es necessitaran per a alçar un mur de 75 metros en 26 hores?

En el problema plantejat apareixen dos relacions de proporcionalitat al mateix temps. Ademés, per a completar l'eixemple, s'ha inclós una relació inversa i una atra directa. En efecte, si un mur de 100 metros ho construïxen 12 treballadors, és evident que per a construir un mur de 75 metros es necessitaran menys treballadors. Com més menut és el mur, menys número d'obrers precisem: es tracta d'una relació de proporcionalitat directa. Per un atre costat, si disponem de 15 hores per a que treballen 12 obrers, és evident que disponent de 26 hores necessitarem menys obrers. En aumentar una cantitat, disminuïx l'atra: es tracta d'una relació de proporcionalitat inversa.

El problema s'enunciaria aixina:

100 metros són a 15 hores i 12 treballadors com 75 metros són a 26 hores i I treballadors.

La solució al problema és multiplicar 12 per 75 i per 15, i el resultat dividir-ho entre el producte de 100 per 26. Per tant, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que per grosseig resulten ser 6 treballadors ya que 5 treballadors no serien suficients).

Formalment el problema es planteja aixina:

<math>
  \begin{matrix}
     A & \longrightarrow & B \longrightarrow & C \\
     X & \longrightarrow & Z \longrightarrow & Y
  \end{matrix}

</math>

  • La resolució implica plantejar cada regla de tres simple per separat. Per un costat, la primera, que, recordem, és directa, i es resol aixina:
<math>
  \left .
     \begin{matrix}
        A & \longrightarrow & C \\
        X & \longrightarrow & Y
     \end{matrix}
  \right \}
  \quad \longrightarrow \quad
  Y = \frac{X \cdot C}{A}

</math>

  • A continuació plantegem la segona, que, recordem, és inversa, i es resol aixina:
<math>
  \left .
     \begin{matrix}
        B & \longrightarrow & C \\ 

        Z & \longrightarrow & Y
     \end{matrix}
  \right \}
  \quad \longrightarrow \quad
  Y = \frac{B \cdot C}{Z}

</math>

  • A continuació unim abdós operacions en una sola, anant en conte de no repetir cap terme (és dir, afegint el terme C una sola volta):
<math>
  Y = \frac{X \cdot B \cdot C}{A \cdot Z}

</math>

lo que nos dona la solució buscada.

El problema es pot plantejar en tots els térmens que es vullga, siguen totes les relacions directes, totes inverses o mesclades, com en el cas anterior. Cada regla ha de plantejar-se en sum conte, tenint en conte si és inversa o directa, i tenint en conte (açò és molt important) no repetir cap terme en unir cadascuna de les relacions simples.

  1. ↑ 20 (ed.). (en español), Editorial Bruño. ISBN 978-84-216-0196-9.
  2. ↑ Juan Gerard. (en español), 1.
  3. ↑ S. F. Lacroix. Imprenta Nacional Marid (ed.). (en español), 5.
  4. ↑ Placencia Valero, Job. (en español), Editorial Tébar, S.L.. ISBN 978-84-7360-294-5.
  5. ↑ (en inglés), Editorial Edaf, S.A.. ISBN 978-84-414-0244-7.
  6. ↑ Placencia Valero, Job. (en español), Editorial Tébar, S.L.. ISBN 978-84-7360-294-5.
Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Regla_de_tres&oldid=107941»