Número decimal periòdic

Un número decimal periòdic és un @número racional caracterisat per tindre un periodo (sifres que es repetixen indefinidament) en la seua expansió decimal. Este periodo pot constar d'una o vàries sifres, com Les següents:

<math>

  \cfrac{1}{3} =
  0,\boldsymbol{3}\,333\dots
  \; ; \quad
 \cfrac{1}{7} =
 0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots

</math>

El periodo es pot expressar escrivint un arc damunt de les sifres repetides, per eixemple:

<math>

  \cfrac{2}{3} =
  0, \overset{\frown}{6}
  \; ; \quad
  \cfrac{12}{11} =
  1, \overset{\frown}{09}

</math>

Tipos de números periòdics

• Número periòdic puro: Quan immediatament despuix de la coma hi ha una o més sifres que es repetixen.
  • Eixemple: <math>0,999\dots = 0,\bar{9}</math>
• Número periòdic mixt (també cridat semiperiòdic): Quan despuix de la coma hi ha una o més sifres que no es repetixen, seguides per una o més sifres que sí es repetixen.
  • Eixemple: <math>1.91222\dots = 1.91 \bar{2}</math>, en donde 91 es el anteperiodo.

Fracció corresponent a un número periòdic

Una fracció pot donar un número decimal periòdic:

<math>

  \begin{array}{l}
     \cfrac{1}{9}  = 0,111111111111...\\
     \cfrac{1}{7}  = 0,142857142857...\\
     \cfrac{1}{3}  = 0,333333333333...\\
     \cfrac{2}{27}  = 0,074074074074...\\
     \cfrac{7}{12} = 0,58333333333...
  \end{array}

</math>

Donat un número periòdic en la seua representació decimal, és possible trobar la fracció que ho produïx (fracció @generatriz). Eixemple:

<math>

  \begin{array}{rcll}

      x & = & 0,333333\ldots\\
    10x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}      \\
     9x & = & 3              & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\
                                                                                 \\
      x & = & \cfrac{3}{9} = \cfrac{1}{3}  & \text{(simplificando)}
  \end{array}

</math>

Otro ejemplo:

<math>

  \begin{array}{rcl}
        x & = & \;\;\; 2,85636363\ldots \\
     100x & = & 285,63636363\ldots \\
      99x & = & 282,78
  \end{array}

</math>

<math>

  x =
  \frac{282,78}{99} =
  \frac{28278}{9900} =
  \frac{1571}{550}

</math>

El procediment anterior és general i permet enunciar les següents regles:

• Número periòdic puro: La fracció d'un número decimal periòdic puro té:
  • numerador: la diferència entre la part anterior al periodo seguida del periodo (tot escrit sense la coma, de corregut, com un únic número entero) menys la part anterior al periodo.
  • denominador: tants 9 com a sifres té el periodo

Eixemple:

<math>

  5,34\ 34\dots =
  \frac{534-5}{99} =
  \frac{529}{99}

</math>

• Número periòdic mixt: La fracció d'un número decimal periòdic mixt té:
  • numerador: la diferència entre la part anterior al periodo seguida del periodo (tot escrit sense la coma, de corregut, com un únic @número entero) menys la part anterior al periodo.
  • denominador: tants 9 com a sifres té el periodo, seguits de tants 0 com a sifres té la part no periòdica.

Eixemple:

<math>

  12,345\ 67\ 67\ 67\dots =
  \frac{1234567-12345}{99000} =
  \frac{1222222}{99000} =
  \frac{611111}{49500}

</math>

Tipo de número periòdic resultant

Donada una fracció irreductible (és dir, en la que numerador i denominador són primers entre sí, i per tant no es pot simplificar més) és senzill saber si correspon a un número periòdic puro, mixt, o és un decimal exacte, sense necessitat de fer la divisió:

• Si en descompondre el denominador en factors primers, estos són només el 2 i/o el 5, serà exacta.

Per eixemple:

<math>

  \cfrac{7}{20}

</math>

com:

<math>

  20 = 2 \cdot 2 \cdot 5

</math>

serà exacta; en efecte

<math>

  \cfrac{7}{20} =
  \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} =
  \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} \; \cfrac{5}{5} =
  \cfrac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)} =
  \cfrac{35}{100} =
  0,35

</math>

Atro eixemple:

<math>

  \cfrac{7}{25}

</math>

com:

<math>

   25 = 5 \cdot 5

</math>

serà exacta; en efect:

<math>

  \cfrac{7}{25} =
  \cfrac{7}{5 \cdot 5} =
  \cfrac{7}{5 \cdot 5} \; \cfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} =
  \cfrac{7 \cdot 2 \cdot 2}{(5 \cdot 2)(5 \cdot 2)} =
  \cfrac{28}{100} =
  0,28

</math>

• Si en descompondre el denominador en factors primers, estos no contenen ni al 2 ni al 5, serà periòdica pura:

Per eixemple:

<math>

  \cfrac{5}{21}

</math>

como:

<math>

  21 = 3 \cdot 7

</math>

serà periòdica pura; en efecte:

<math>

  \cfrac{5}{21} =
  0,238095\ 238095\ 238095\dots

</math>

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:

Por ejemplo:

<math>

  \cfrac{5}{42}

</math>

como:

<math>

  42 = 2 \cdot 3 \cdot 7

</math>

serà periòdica mixta, en efecte:

<math>

  \cfrac{5}{42} =
  0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots

</math> mas no es segur un resultat pròxim.

Vore també

• 0,9 periòdic
• Representació decimal
• Plantilla:Classificació números

Referències

• , Ediciones Umbral.
• Plantilla:MathWorld

• Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Número decimal periódico de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.