Perpendicularidad

En geometria, la condició de perpendicularidad (del llatí per-pendiculum «plomada») es dona quan una llínea recta es interseca en una atra formant un àngul recte o de 90°. La perpendicularidad és una propietat fonamental estudiada en geometria i trigonometria, per eixemple els triànguls rectànguls posseïxen 2 costats perpendiculars entre sí.

La semirrecta AB és perpendicular a la recta CD, perque els dos ànguls que conforma són de 90 graus (en taronja i blava, respectivament).

La noció de perpendicularidad es generalisa a la d'ortogonalidad.

Relacions

La relació de perpendicularidad es pot donar entre:

• Rectes: dos coplanarias són perpendiculars quan en tallar-se dividixen al pla en quatre regions iguals. Cada u dels quals és un àngul recte, al punt d'intersecció de dos rectes perpendicular se li crida peu de cada una d'elles en l'atra.
  • Semirrecta: dos semirrectas són perpendiculars, quan conformen ànguls rectes tenint o no el mateix punt d'orige.
• Plans: dos plans són perpendiculars quan conformen quatre ànguls diedros de 90°.
  • Semiplanos: dos semiplanos són perpendiculars quan conformen ànguls diedros de 90°; generalment, compartint la mateixa recta d'orige.

Ademés, pot existir una relació de perpendicularidad entre els 4 elements anteriors, presos de dos en dos.

Si dos rectes en tallar-se formen ànguls adjacents congruents, són perpendiculars. Per analogia, si dos plans en tallar-se formen ànguls diedros adjacents congruents, són perpendiculars. Els costats d'un àngul diedro i els seus semiplanos oposts determinen dos plans perpendiculars.

Rectes perpendicular en el pla

Per a totes les rectes perpendicular del pla es complix lo següent.

Notació

Donat el conjunt R de les rectes en el pla, direm que dos rectes a, b de R són perpendiculars i ho notarem:

$a,b\in R:a\mathrm{\perp }b$

Sent correcta la notació:

$a\mathrm{\perp }b\text{o}\mathrm{\perp }(a,b)\text{o bien}(a,b)\in \mathrm{\perp }$

Si dos rectes no són perpendiculars ho notarem:

$\mathrm{\neg }(a\mathrm{\perp }b)\text{o}\mathrm{\perp }(a,b)\text{o bien}(a,b)\notin \mathrm{\perp }$

Postulat d'unicitat

En un pla, per un punt pertanyent o exterior a una recta passa una i solament una recta perpendicular.

Construcció de la perpendicular a una recta per un punt donat

Construcció de la perpendicular (blava) a la llínea AB a través del punt P.

Per a construir una perpendicular a la llínea AB a través del punt P usant regla i compàs, es procedix com seguix:

• Pas 1 (roig): es dibuixa un círcul en centre en P per a crear els punts A' i B' en la llínea AB, els quals són equidistants a P.
• Pas 2 (vert): es dibuixen dos círculs centrats en A' i B', passant els dos per P. Siga Q l'atre punt d'intersecció d'estos dos círculs.
• Pas 3 (blau): s'unixen P i Q per a obtindre la recta perpendicular PQ.

Per a provar que PQ és perpendicular a AB, s'utilisa el criteri de congruència LLL per als triànguls QPA' i QPB' per a demostrar que els ànguls OPA' i OPB' són iguals. Després s'usa el criteri LAL per als triànguls OPA' i OPB' per a demostrar que els ànguls POA i POB són iguals.

Propietats

Les rectes a, b del pla P, complixen les següents propietats:

• Relació irreflexiva: tota recta a del pla no és perpendicular a sí mateixa:

$\mathrm{\forall }a\in P:\mathrm{\neg }(a\mathrm{\perp }a)$

• Relació simètrica: si una recta a és perpendicular a una atra b, la recta b és perpendicular a la a:

$\mathrm{\forall }a,b\in P:a\mathrm{\perp }b⟶b\mathrm{\perp }a$