Regla de tres
La regla de tres és una forma de resoldre problemes de proporcionalitat entre tres o més valors coneguts i una incògnita. En ella s'establix una relació de llinealitat (proporcionalitat) entre els valors involucrats.
- Regla de tres és l'operació de trobar el quart terme d'una proporció coneixent els atres tres.[1][2][3]
La regla de tres més coneguda és la regla de tres simple directa, encara que també existix la regla de tres simple inversa i la regla de tres composta.
Regla de tres simpleEditar
En la regla de tres simple, s'establix la relació de proporcionalitat entre dos valors coneguts A i B, i coneixent un tercer valor X, calculem un quart valor. Y. [4]
- <math>
\begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & B \\ X & \longrightarrow & Y \end{array}
</math>
La relació de proporcionalitat pot ser directa o inversa, serà directa quan a un major valor de A hi haurà un major valor de B, i serà inversa, quan es de que, a un major valor de A corresponga un menor valor de B, vejam cada u d'eixos casos.
Regla de tres simple directaEditar
La regla de tres simple directa es fonamenta en una relació de proporcionalitat, per #lo que ràpidament s'observa que:
- <math>
\frac{B}{A} = \frac{Y}{X} = k
</math>
A on k és la constant de proporcionalitat, per a que esta proporcionalitat es complixca tenim que a un aument de A li correspon un aument de B en la mateixa proporció. Que podem representar:
- <math>
\left . \begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & B \\ X & \longrightarrow & Y \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{B \cdot X}{A}
</math>
i direm que: A és a B directament, com a X és a Y, sent Y igual al producte de B per X dividit entre A.
Imaginem que se nos planteja lo següent:
|
Este problema s'interpreta de la següent manera: la relació és directa, ya que, a major número d'habitacions farà falta més pintura, i ho representem aixina:
- <math>
\left . \begin{array}{ccc} 2 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & 8 \; \text{litros} \\ 5 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & Y \; \text{litros} \end{array} \right \} \rightarrow \quad
Y = \cfrac{8 \; \text{litros} \cdot 5 \; \text{habitacions} }{2 \; \text{habitacions} } = 20 \; litros
</math>
Regla de tres simple inversaEditar
En la regla de tres simple inversa,[5] en la relació entre els valors se cumplix que:
- <math>
A \cdot B = X \cdot Y = e
</math>
a on e és un producte constant, per a que esta constant es conserve, tindrem que un aument de A, necessitara una disminució de B, per a que el seu producte permaneixca constant, si representem la regla de tres simple inversa, tindrem:
- <math>
\left . \begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & B \\ X & \longrightarrow & Y \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{A \cdot B}{X}
</math>
i direm que: A és a B inversament, com a X és a Y, sent Y igual al producte de A per B dividit per X.
Si per eixemple tenim el problema:
|
Si s'observa en atenció el sentit de l'enunciat, resulta evident que quants més obrers treballen, menys hores necessitaran per a alçar el mateix mur (suponent que tots treballen al mateix ritme).
- <math>
8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} = 5 \; \text{treballadors} \cdot Y \; \text{hores} = 120 \; \text{hores de treball}
</math>
El total d'hores de treball necessàries per a alçar el mur són 120 hores, que poden ser aportades per un sol treballador que ampre 120 hores, 2 treballadors en 60 hores, 3 treballadors ho faran en 40 hores, etc. En tots els casos el número total d'hores permaneix constant.
Tenim per tant una relació de proporcionalitat inversa, i deurem aplicar una regla de tres simple inversa, tenim:
- <math>
\left . \begin{array}{ccc} 8 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & 15 \; \text{hores} \\ 5 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & Y \; \text{hores} \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} }{5 \; \text{treballadors} } = 24 \; \text{hores}
</math>
Regla de tres compostaEditar
En ocasions el problema plantejat involucra més de tres cantitats conegudes, ademés de la desconeguda.[6] Observem el següent eixemple:
|
En el problema plantejat apareixen dos relacions de proporcionalitat al mateix temps. Ademés, per a completar l'eixemple, s'ha inclós una relació inversa i una atra directa. En efecte, si un mur de 100 metros ho construïxen 12 treballadors, és evident que per a construir un mur de 75 metros es necessitaran menys treballadors. Quan més chicotet és el mur, menys número d'obrers precisem: es tracta d'una relació de proporcionalitat directa. Per un atre costat, si disponem de 15 hores per a que treballen 12 obrers, és evident que disponent de 26 hores necessitarem menys obrers. En aumentar una cantitat, disminuïx l'atra: es tracta d'una relació de proporcionalitat inversa.
El problema s'enunciaria aixina:
|
La solució al problema és multiplicar 12 per 75 i per 15, i el resultat dividir-ho entre el producte de 100 per 26. Per tant, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que per grosseig resulten ser 6 treballadors ya que 5 treballadors no serien suficients).
Formalment el problema es planteja aixina:
- <math>
\begin{matrix} A & \longrightarrow & B \longrightarrow & C \\ X & \longrightarrow & Z \longrightarrow & Y \end{matrix}
</math>
- La resolució implica plantejar cada regla de tres simple per separat. Per un costat, la primera, que, recordem, és directa, i es resol aixina:
- <math>
\left . \begin{matrix} A & \longrightarrow & C \\ X & \longrightarrow & Y \end{matrix} \right \} \quad \longrightarrow \quad Y = \frac{X \cdot C}{A}
</math>
- A continuació plantegem la segona, que, recordem, és inversa, i es resol aixina:
- <math>
\left . \begin{matrix} B & \longrightarrow & C \\
Z & \longrightarrow & Y \end{matrix} \right \} \quad \longrightarrow \quad Y = \frac{B \cdot C}{Z}
</math>
- A continuació unim abdós operacions en una sola, anant en conte de no repetir cap terme (és dir, afegint el terme C una sola volta):
- <math>
Y = \frac{X \cdot B \cdot C}{A \cdot Z}
</math>
lo que nos dona la solució buscada.
El problema es pot plantejar en tots els térmens que es vullga, siguen totes les relacions directes, totes inverses o mesclades, com en el cas anterior. Cada regla ha de plantejar-se en sum conte, tenint en conte si és inversa o directa, i tenint en conte (açò és molt important) no repetir cap terme en unir cada una de les relacions simples.
EixemplesEditar
Ubiquem l'incògnita en la primera posició:
<math>
\begin{matrix} 180^\circ & \longrightarrow & \pi \; \text{radianes} \\ 60^\circ & \longrightarrow & X \; \text{radianes} \end{matrix}
</math> ||left}}
Açò formalisa la pregunta "¿Quants radians hi ha en 60 graus, ya que π radians són 180 graus?". Aixina tenim que:
(left)
A on π és el Número π.
Una tècnica útil per a recordar cóm trobar la solució d'una regla de tres és la següent: X és igual al producte dels térmens creuats (π i 60, en este cas) dividit pel terme que està creuat en X.
- Calcular quànts minuts hi ha en 7 hores. Sabem que hi ha 60 minuts en 1 hora, per lo que escrivim:
- <math>
\begin{matrix} 1 \; \text{hora} & \longrightarrow & 60 \; \text{minuts} \\ 7 \; \text{hores} & \longrightarrow & X \; \text{minuts} \end{matrix}
</math>
El resultat és:
- <math>
X = \frac {60 \; \text{minuts} \cdot 7 \; \text{hores}} {1 \; \text{hora}} = 420 \; \text{minuts}
</math>
ReferènciesEditar
- ↑ 20 (ed.). (en español), Editorial Bruño. ISBN 978-84-216-0196-9.
- ↑ Juan Gerard. (en español), 1.
- ↑ S. F. Lacroix. Imprenta Nacional Marid (ed.). (en español), 5.
- ↑ Placencia Valero, Job. (en español), Editorial Tébar, S.L.. ISBN 978-84-7360-294-5.
- ↑ (en inglés), Editorial Edaf, S.A.. ISBN 978-84-414-0244-7.
- ↑ Placencia Valero, Job. (en español), Editorial Tébar, S.L.. ISBN 978-84-7360-294-5.
BibliografiaEditar
- en la imprenta de la viuda de Ibarra (ed.). (en español).
- Viuda de Joaquín Ibarra. (ed.). (en español).
- Imp. J.F. Jens (ed.). (en español).
- Equipo Rosalía de Castro (ed.). (en español), Editorial Escudo, S.L.. ISBN 978-84-89833-33-3.
- (en español), Imaginador. ISBN 978-98-75202-08-5.
- (en español), Imaginador. ISBN 9789875202566.
- (en español), Liber Factory. ISBN 978-84-9869-658-5.
- (en español), Editorial Editex, S.A.. ISBN 978-84-9771-427-3.
Enllaços externsEditar
- Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Regla de tres de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.