Regla de tres

La regla de tres és una forma de resoldre problemes de proporcionalitat entre tres o més valors coneguts i una incògnita. En ella s'establix una relació de llinealitat (proporcionalitat) entre els valors involucrats.

Regla de tres és l'operació de trobar el quart terme d'una proporció coneixent els atres tres.

La regla de tres més coneguda és la regla de tres simple directa, encara que també existix la regla de tres simple inversa i la regla de tres composta.

Regla de tres simple

En la regla de tres simple, s'establix la relació de proporcionalitat entre dos valors coneguts A i B, i coneixent un tercer valor X, calculem un quart valor. Y.

<math>

  \begin{array}{ccc}
     A & \longrightarrow & B \\
     X & \longrightarrow & Y
  \end{array}

</math>

La relació de proporcionalitat pot ser directa o inversa, serà directa quan a un major valor de A hi haurà un major valor de B, i serà inversa, quan es de que, a un major valor de A corresponga un menor valor de B, vejam cada u d'eixos casos.

Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa es fonamenta en una relació de proporcionalitat, per #lo que ràpidament s'observa que:

<math>

  \frac{B}{A} =
  \frac{Y}{X} =
  k

</math>

A on k és la constant de proporcionalitat, per a que esta proporcionalitat es complixca tenim que a un aument de A li correspon un aument de B en la mateixa proporció. Que podem representar:

<math>

  \left .
     \begin{array}{ccc}
        A & \longrightarrow & B \\
        X & \longrightarrow & Y
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad
  Y = \cfrac{B \cdot X}{A}

</math>

i direm que: A és a B directament, com a X és a Y, sent Y igual al producte de B per X dividit entre A.

Imaginem que se nos planteja lo següent:

Si necessite 8 litros de pintura per a pintar 2 habitacions, ¿quants litros necessite per a pintar 5 habitacions?

Este problema s'interpreta de la següent manera: la relació és directa, ya que, a major número d'habitacions farà falta més pintura, i ho representem aixina:

<math>

  \left .
     \begin{array}{ccc}
        2 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & 8 \; \text{litros} \\
        5 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & Y \; \text{litros}
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad

  Y =
  \cfrac{8 \; \text{litros} \cdot 5 \; \text{habitaciones} }{2 \; \text{habitacions} } =
  20 \; litros

</math>

Regla de tres simple inversa

En la regla de tres simple inversa, en la relació entre els valors se cumplix que:

<math>

  A \cdot B =
  X \cdot Y =
  e

</math>

on e és un producte constant, per a que esta constant es conserve, tindrem que un aument de A, necessitara una disminució de B, per a que el seu producte permaneixca constant, si representem la regla de tres simple inversa, tindrem:

<math>

  \left .
     \begin{array}{ccc}
        A & \longrightarrow & B \\
        X & \longrightarrow & Y
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad
  Y = \cfrac{A \cdot B}{X}

</math>

i direm que: A és a B inversament, com a X és a Y, sent Y igual al producte de A per B dividit per X.

Si per eixemple tenim el problema:

Si 8 treballadors construïxen un mur en 15 hores, ¿quànt tardaran 5 treballadors en alçar el mateix mur?

Si s'observa en atenció el sentit de l'enunciat, resulta evident que quants més obrers treballen, menys hores necessitaran per a alçar el mateix mur (suponent que tots treballen al mateix ritme).

<math>

  8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} =
  5 \; \text{treballadors} \cdot Y \; \text{hores} =
  120 \; \text{hores de treball}

</math>

El total d'hores de treball necessàries per a alçar el mur són 120 hores, que poden ser aportades per un sol treballador que ampre 120 hores, 2 treballadors en 60 hores, 3 treballadors ho faran en 40 hores, etc. En tots els casos el número total d'hores permaneix constant.

Tenim per tant una relació de proporcionalitat inversa, i deurem aplicar una regla de tres simple inversa, tenim:

<math>

  \left .
     \begin{array}{ccc}
        8 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & 15 \; \text{hores} \\
        5 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & Y \; \text{hores}
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad
  Y = \cfrac{8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} }{5 \; \text{treballadors} } =
  24 \; \text{hores}

</math>

• Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Regla de tres de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.