Circumferència goniomètrica

Parametrización de la circunferencia goniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sint).

La circumferència goniomètrica, trigonomètrica, unitària o «círcul unitat» és una circumferència de radie un, normalment en el seu centre en l'orige (0, 0) d'un sistema de coordenades, d'un pla @euclídeo o complex.

Dita circumferència s'utilisa en la finalitat de poder estudiar fàcilment les raons trigonomètriques i funcions trigonomètriques, per mig de la representació de triànguls rectànguls auxiliars.

Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat del primer quadrant, llavors x i i són les llongituts dels catets d'un triàngul rectàngul l'hipotenusa del qual té llongitut 1. Aplicant el teorema de Pitàgores, x i i satisfan la equació:

<math>x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,</math>

Funcions trigonomètriques en la circumferència unitària

Archiu:Triángulo-en-círculo

La circumferència unitat i el triàngul rectàngul associat.

El àrea de la garrofa i del círcul unitari és el número pi.

Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat, i el radi que té l'orige en (0, 0), forma un àngul <math> alpha , </math> en l'eix X, les principals funcions trigonomètriques es poden representar com raó de segments associats a triànguls rectànguls auxiliars, de la següent manera:

El sen és la raó entre el catet opost (a) i la hipotenusa (c)

<math> \sin(\alpha)= \frac{a}{c} </math>

i ya que l'hipotenusa és igual al radi, que té valor = 1, es deduïx:

<math> \sin(\alpha)= a \, </math>

El cosen és la raó entre el catet adjacent (b) i l'hipotenusa (c)

<math> \cos(\alpha)= \frac{b}{c} </math>

i com l'hipotenusa té valor = 1, es deduïx:

<math> \cos(\alpha)= b \, </math>

La tangent és la raó entre el catet opost i l'adjacent

<math> \tan(\alpha)= \frac{a}{b} </math>

[[Archivo:Circle-trig6.svg|thumb|300px|Principals valors de les raons trigonomètriques representats com segments respecte de la circumferència goniomètrica.]] [[Archivo:Unit circle angles.svg|thumb|300px|Valors dels ànguls més comunes i les coordenades corresponents sobre la circumferència goniomètrica .]]

Per semblança de triànguls: AE / AC = OA / OC

com OA = 1, es deduïx que: AE = AC / OC

<math> \tan(\alpha)= \overline{AE} \,</math>

Funcions trigonomètriques recíproques

La cosecant, la secant i la cotangent, són les raons trigonomètriques recíproques del sen, cosen i tangent:

<math>

  \csc (\alpha) =
  \frac{1}{\sin (\alpha)} =
  \overline{OF}

</math>

<math>

  \sec (\alpha) =
  \frac{1}{\cos (\alpha)} =
  \overline{OE}

</math>

<math>

  \cot (\alpha) =
  \frac{1}{\tan (\alpha)} =
  \overline{AF}

</math>

Els valors de la *cotangente, la secant i la cosecant s'obtenen, anàlogament, per mig de semblança de triànguls.

Topologia

En topologia, a la circumferència unitària (també denominat disc unitat) li la classifica com S¹; la generalisació per a una dimensió més és l'esfera unitat S².

Vore també

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Circumferència goniomètrica.
• Medida d'ànguls
• Raons trigonomètriques

• Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia goniométrica de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.