Teorema dels sens

Teorema del sen.

En trigonometria, la teorema dels sens o també conegut com a llei dels sens és una relació de proporcionalitat entre les llongituts dels costats d'un triàngul i els sens dels seus respectius ànguls oposts. Usualment es presenta de la següent forma:

Si en un triángul ABC, les mesures dels costats oposts als ànguls A, B y C són respectivament a, b, c, llavors: {{{1}}}

Demostració

A pesar de ser dels teoremas trigonomètrics més usats i de tindre una demostració particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda.

La teorema dels sens establix que a/sen(A) és constant.

Donat el triàngul ABC, denotem per O el seu circumcentre i dibuixem el seu circumferència circumscrita. Prolongant el segment BO fins a tallar la circumferència, s'obté un diàmetro BP.

Ara, el triàngul PCB és recte, ya que BP és un diàmetro, i ademés els ànguls A i P són congruents, perque abdós són ànguls inscrits que òbrin el segment BC (Vore definició de arc capaç). Per definició de la funció trigonomètrica sen, es té

{{{1}}}

on R és el radi de la circumferència. Rebujant 2R obtenim:

{{{1}}}

.

Repetint el procediment en un diàmetro que passe per A i un atre que passe per C, s'aplega a que les tres fraccions tenen el mateix valor 2R i per tant són iguals.

La conclusió que s'obté sol cridar-se teorema dels sens generalisat i establix: Plantilla:T

Aplicació

El teorema dels sens és utilisat per a resoldre problemes en els que es coneixen dos ànguls del triàngul i un costat opost a un d'ells. També s'usa quan coneixem dos costats del triàngul i un àngul opost a un d'ells. Pot ser amprat la llei dels sens, en reajustaments circumstancials, en:

• Càlcul de l'altura d'un arbre
• Trobar l'àngul d'elevació del sol
• Pla per a construcció de ponts
• Estudie i dibuix de carrils d'una autopista
• Itinerari d'un planage
• Ubicació d'un foc d'incendi
• Situació d'un transmissor de radi clandestí
• L'altitut d'una montanya i atres casos.

Relació en l'àrea del triàngul

Dos fòrmules per a calcular l'àrea d'un triàngul

Vore també

• Trigonometria
  • Triangulació
  • Trigonometria esfèrica
  • Funció trigonomètrica
• Geometria del triàngul
  • Teorema del cosen
  • Teorema de Pitàgores

• Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Teorema de los senos de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.