Diferència entre les revisions de "Teorema dels sens"
| Llínea 2: | Llínea 2: | ||
En [[trigonometria]], la '''teorema dels sens'''<ref>Pogorélov. ''Geometria elemental''. Editorial Mir, Moscou(1977)</ref> o també conegut com a '''llei dels sens''' <ref>Larson. ''Trigonometria''. ISBN 978-607-481-7-34 (2011)</ref> és una relació de [[proporcionalitat]] entre les llongituts dels costats d'un [[triàngul]] i els [[sen (matemàtiques)|sens]] dels seus respectius [[àngul]]s oposts. | En [[trigonometria]], la '''teorema dels sens'''<ref>Pogorélov. ''Geometria elemental''. Editorial Mir, Moscou(1977)</ref> o també conegut com a '''llei dels sens''' <ref>Larson. ''Trigonometria''. ISBN 978-607-481-7-34 (2011)</ref> és una relació de [[proporcionalitat]] entre les llongituts dels costats d'un [[triàngul]] i els [[sen (matemàtiques)|sens]] dels seus respectius [[àngul]]s oposts. | ||
Usualment es presenta de la següent forma: | Usualment es presenta de la següent forma: | ||
| − | {{ | + | {{Teorema|Si en un triángul ''ABC'', les mesures dels costats oposts als ànguls ''A'', ''B'' y ''C'' són respectivament ''a'', ''b'', ''c'', llavors: |
| − | {{ | + | {{Ecuación|<math>\frac{a}{\sen\,A} =\frac{b}{\sen\,B} =\frac{c}{\sen\,C} </math>}}|títul= Teorema dels sens }} |
| + | |||
== Demostració == | == Demostració == | ||
A pesar de ser dels [[teorema]]s trigonomètrics més usats i de tindre una [[demostració matemàtica|demostració]] particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda. | A pesar de ser dels [[teorema]]s trigonomètrics més usats i de tindre una [[demostració matemàtica|demostració]] particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda. | ||
Revisió de 18:47 7 set 2016
En trigonometria, la teorema dels sens[1] o també conegut com a llei dels sens [2] és una relació de proporcionalitat entre les llongituts dels costats d'un triàngul i els sens dels seus respectius ànguls oposts. Usualment es presenta de la següent forma:
|
Demostració
A pesar de ser dels teoremas trigonomètrics més usats i de tindre una demostració particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda.
Donat el triàngul ABC, denotem per O el seu circumcentre i dibuixem el seu circumferència circumscrita. Prolongant el segment BO fins a tallar la circumferència, s'obté un diàmetro BP.
Ara, el triàngul PCB és recte, ya que BP és un diàmetro, i ademés els ànguls A i P són congruents, perque abdós són ànguls inscrits que òbrin el segment BC (Vore definició de arc capaç). Per definició de la funció trigonomètrica sen, es té
{{{1}}}
on R és el radi de la circumferència. Rebujant 2R obtenim:
{{{1}}}
.
Repetint el procediment en un diàmetro que passe per A i un atre que passe per C, s'aplega a que les tres fraccions tenen el mateix valor 2R i per tant són iguals.
La conclusió que s'obté sol cridar-se teorema dels sens generalisat i establix: Plantilla:T
Aplicació
El teorema dels sens és utilisat per a resoldre problemes en els que es coneixen dos ànguls del triàngul i un costat opost a un d'ells. També s'usa quan coneixem dos costats del triàngul i un àngul opost a un d'ells. Pot ser amprat la llei dels sens, en reajustaments circumstancials, en:
- Càlcul de l'altura d'un arbre
- Trobar l'àngul d'elevació del sol
- Pla per a construcció de ponts
- Estudie i dibuix de carrils d'una autopista
- Itinerari d'un planage
- Ubicació d'un foc d'incendi
- Situació d'un transmissor de radi clandestí
- L'altitut d'una montanya i atres casos. [3]
Relació en l'àrea del triàngul
Vore també
- Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Teorema de los senos de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.