Diferència entre les revisions de "Circumferència goniomètrica"
m |
|||
| (No se mostren 4 edicions intermiges del mateix usuari) | |||
| Llínea 1: | Llínea 1: | ||
| − | [[Archiu:Unit circle.svg|thumb|250px|[[ | + | [[Archiu:Unit circle.svg|thumb|250px|[[Ecuació paramétrica|Parametrisació]] de la circumferència goniomètrica. La variable ''t'' és l'àngul i els seus punts són: (x, y) = (cos''t'', sin''t'').]] |
La '''circumferència goniomètrica''', '''trigonomètrica''', '''unitària''' o '''«círcul unitat»''' és una [[circumferència]] de [[ràdio (geometria)|radie]] un, normalment en el seu centre en l'orige (0, 0) d'un [[sistema de coordenades]], d'un [[pla (geometria)|pla @euclídeo]] o [[pla complex|complex]]. | La '''circumferència goniomètrica''', '''trigonomètrica''', '''unitària''' o '''«círcul unitat»''' és una [[circumferència]] de [[ràdio (geometria)|radie]] un, normalment en el seu centre en l'orige (0, 0) d'un [[sistema de coordenades]], d'un [[pla (geometria)|pla @euclídeo]] o [[pla complex|complex]]. | ||
| Llínea 5: | Llínea 5: | ||
Dita circumferència s'utilisa en la finalitat de poder estudiar fàcilment les [[raó trigonomètrica|raons trigonomètriques]] i [[funcions trigonomètriques]], per mig de la representació de [[triàngul]]s rectànguls auxiliars. | Dita circumferència s'utilisa en la finalitat de poder estudiar fàcilment les [[raó trigonomètrica|raons trigonomètriques]] i [[funcions trigonomètriques]], per mig de la representació de [[triàngul]]s rectànguls auxiliars. | ||
| − | Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat del primer quadrant, llavors x i i són les llongituts dels catets d'un triàngul rectàngul l'hipotenusa del qual té llongitut 1. Aplicant el [[teorema de Pitàgores]], x i i satisfan | + | Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat del primer quadrant, llavors x i i són les llongituts dels catets d'un triàngul rectàngul l'hipotenusa del qual té llongitut 1. Aplicant el [[teorema de Pitàgores]], x i i satisfan l'[[equació]]: |
::::: <math>x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,</math> | ::::: <math>x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,</math> | ||
== Funcions trigonomètriques en la circumferència unitària == | == Funcions trigonomètriques en la circumferència unitària == | ||
| − | [[Archiu:Triángulo-en-círculo|thumb|200px|La circumferència unitat i el triàngul rectàngul associat | + | [[Archiu:Triángulo-en-círculo.svg|thumb|200px|La circumferència unitat i el triàngul rectàngul associat]] |
| + | |||
[[Archiu:Squaring the circle.svg|200px|thumb|El [[àrea]] de la garrofa i del círcul unitari és el [[número pi]].]] | [[Archiu:Squaring the circle.svg|200px|thumb|El [[àrea]] de la garrofa i del círcul unitari és el [[número pi]].]] | ||
Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat, i el radi que té l'orige en (0, 0), forma un àngul '''<math> alpha , </math>''' en l'eix ''X'', les principals funcions trigonomètriques es poden representar com [[raó (matemàtiques)|raó]] de [[segment]]s associats a [[triàngul rectàngul|triànguls rectànguls]] auxiliars, de la següent manera: | Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat, i el radi que té l'orige en (0, 0), forma un àngul '''<math> alpha , </math>''' en l'eix ''X'', les principals funcions trigonomètriques es poden representar com [[raó (matemàtiques)|raó]] de [[segment]]s associats a [[triàngul rectàngul|triànguls rectànguls]] auxiliars, de la següent manera: | ||
| − | El [[Sen (matemàtiques)|sen]] és la raó entre el [[catet]] opost (a) i | + | El [[Sen (matemàtiques)|sen]] és la raó entre el [[catet]] opost (a) i l'[[hipotenusa]] (c) |
: <math> \sin(\alpha)= \frac{a}{c} </math> | : <math> \sin(\alpha)= \frac{a}{c} </math> | ||
| Llínea 46: | Llínea 47: | ||
=== Funcions trigonomètriques recíproques === | === Funcions trigonomètriques recíproques === | ||
La cosecant, la secant i la cotangent, són les raons trigonomètriques recíproques del sen, cosen i tangent: | La cosecant, la secant i la cotangent, són les raons trigonomètriques recíproques del sen, cosen i tangent: | ||
| − | + | :<math> | |
| − | : <math> | + | \csc (\alpha) = |
| − | + | \frac{1}{\sin (\alpha)} = | |
| − | + | \overline{OF} | |
| − | |||
</math> | </math> | ||
| − | : <math> | + | :<math> |
| − | + | \sec (\alpha) = | |
| − | + | \frac{1}{\cos (\alpha)} = | |
| − | + | \overline{OE} | |
</math> | </math> | ||
| − | : <math> | + | :<math> |
| − | + | \cot (\alpha) = | |
| − | + | \frac{1}{\tan (\alpha)} = | |
| − | + | \overline{AF} | |
</math> | </math> | ||
| − | Els valors de la | + | Els valors de la cotangent, la secant i la cosecant s'obtenen, anàlogament, per mig de semblança de triànguls. |
== Topologia == | == Topologia == | ||
Última revisió del 19:22 28 oct 2018
La circumferència goniomètrica, trigonomètrica, unitària o «círcul unitat» és una circumferència de radie un, normalment en el seu centre en l'orige (0, 0) d'un sistema de coordenades, d'un pla @euclídeo o complex.
Dita circumferència s'utilisa en la finalitat de poder estudiar fàcilment les raons trigonomètriques i funcions trigonomètriques, per mig de la representació de triànguls rectànguls auxiliars.
Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat del primer quadrant, llavors x i i són les llongituts dels catets d'un triàngul rectàngul l'hipotenusa del qual té llongitut 1. Aplicant el teorema de Pitàgores, x i i satisfan l'equació:
- <math>x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,</math>
Funcions trigonomètriques en la circumferència unitària[editar | editar còdic]
Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat, i el radi que té l'orige en (0, 0), forma un àngul <math> alpha , </math> en l'eix X, les principals funcions trigonomètriques es poden representar com raó de segments associats a triànguls rectànguls auxiliars, de la següent manera:
El sen és la raó entre el catet opost (a) i l'hipotenusa (c)
- <math> \sin(\alpha)= \frac{a}{c} </math>
i ya que l'hipotenusa és igual al radi, que té valor = 1, es deduïx:
- <math> \sin(\alpha)= a \, </math>
El cosen és la raó entre el catet adjacent (b) i l'hipotenusa (c)
- <math> \cos(\alpha)= \frac{b}{c} </math>
i com l'hipotenusa té valor = 1, es deduïx:
- <math> \cos(\alpha)= b \, </math>
La tangent és la raó entre el catet opost i l'adjacent
- <math> \tan(\alpha)= \frac{a}{b} </math>
[[Archivo:Circle-trig6.svg|thumb|300px|Principals valors de les raons trigonomètriques representats com segments respecte de la circumferència goniomètrica.]] [[Archivo:Unit circle angles.svg|thumb|300px|Valors dels ànguls més comunes i les coordenades corresponents sobre la circumferència goniomètrica .]]
Per semblança de triànguls: AE / AC = OA / OC
com OA = 1, es deduïx que: AE = AC / OC
- <math> \tan(\alpha)= \overline{AE} \,</math>
Funcions trigonomètriques recíproques[editar | editar còdic]
La cosecant, la secant i la cotangent, són les raons trigonomètriques recíproques del sen, cosen i tangent:
- <math>
\csc (\alpha) = \frac{1}{\sin (\alpha)} = \overline{OF} </math>
- <math>
\sec (\alpha) = \frac{1}{\cos (\alpha)} = \overline{OE} </math>
- <math>
\cot (\alpha) = \frac{1}{\tan (\alpha)} = \overline{AF} </math>
Els valors de la cotangent, la secant i la cosecant s'obtenen, anàlogament, per mig de semblança de triànguls.
Topologia[editar | editar còdic]
En topologia, a la circumferència unitària (també denominat disc unitat) li la classifica com S1; la generalisació per a una dimensió més és l'esfera unitat S2.
Vore també[editar | editar còdic]
Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Circumferència goniomètrica.- Medida d'ànguls
- Raons trigonomètriques
- Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia goniométrica de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.