Diferència entre les revisions de "Teorema dels sens"
| (No es mostren 11 edicions intermiges d'3 usuaris) | |||
| Llínea 2: | Llínea 2: | ||
En [[trigonometria]], la '''teorema dels sens'''<ref>Pogorélov. ''Geometria elemental''. Editorial Mir, Moscou(1977)</ref> o també conegut com a '''llei dels sens''' <ref>Larson. ''Trigonometria''. ISBN 978-607-481-7-34 (2011)</ref> és una relació de [[proporcionalitat]] entre les llongituts dels costats d'un [[triàngul]] i els [[sen (matemàtiques)|sens]] dels seus respectius [[àngul]]s oposts. | En [[trigonometria]], la '''teorema dels sens'''<ref>Pogorélov. ''Geometria elemental''. Editorial Mir, Moscou(1977)</ref> o també conegut com a '''llei dels sens''' <ref>Larson. ''Trigonometria''. ISBN 978-607-481-7-34 (2011)</ref> és una relació de [[proporcionalitat]] entre les llongituts dels costats d'un [[triàngul]] i els [[sen (matemàtiques)|sens]] dels seus respectius [[àngul]]s oposts. | ||
Usualment es presenta de la següent forma: | Usualment es presenta de la següent forma: | ||
| − | {{ | + | {{Teorema|Si en un triángul ''ABC'', les mesures dels costats oposts als ànguls ''A'', ''B'' y ''C'' són respectivament ''a'', ''b'', ''c'', llavors: |
| − | {{Equació|<math>frac{a}{ | + | {{Equació|<math>\frac{a}{sen\,A} =\frac{b}{sen\,B} =\frac{c}{sen\,C} </math>}}|títul= Teorema dels sens }} |
| + | |||
== Demostració == | == Demostració == | ||
A pesar de ser dels [[teorema]]s trigonomètrics més usats i de tindre una [[demostració matemàtica|demostració]] particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda. | A pesar de ser dels [[teorema]]s trigonomètrics més usats i de tindre una [[demostració matemàtica|demostració]] particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda. | ||
| − | [[Archiu:Ley de los senos-prueba.svg|thumb|263px|right|La teorema dels sens establix que ''a/ | + | [[Archiu:Ley de los senos-prueba.svg|thumb|263px|right|La teorema dels sens establix que ''a/sen(A)'' és constant.]] |
Donat el triàngul ''ABC'', denotem per ''O'' el seu [[circumcentre]] i dibuixem el seu [[circumferència]] circumscrita. Prolongant el segment ''BO'' fins a tallar la [[circumferència]], s'obté un [[diàmetro]] ''BP''. | Donat el triàngul ''ABC'', denotem per ''O'' el seu [[circumcentre]] i dibuixem el seu [[circumferència]] circumscrita. Prolongant el segment ''BO'' fins a tallar la [[circumferència]], s'obté un [[diàmetro]] ''BP''. | ||
Ara, el triàngul ''PCB'' és recte, ya que ''BP'' és un diàmetro, i ademés els ànguls ''A'' i ''P'' són congruents, perque abdós són [[àngul inscrit|ànguls inscrits]] que òbrin el segment ''BC'' (Vore definició de [[arc capaç]]). Per definició de la funció trigonomètrica [[sen (matemàtiques)|sen]], es té | Ara, el triàngul ''PCB'' és recte, ya que ''BP'' és un diàmetro, i ademés els ànguls ''A'' i ''P'' són congruents, perque abdós són [[àngul inscrit|ànguls inscrits]] que òbrin el segment ''BC'' (Vore definició de [[arc capaç]]). Per definició de la funció trigonomètrica [[sen (matemàtiques)|sen]], es té | ||
| − | {{Equació|<math> | + | {{Equació|<math>sen,A=sen,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}</math>|3=left}} |
on ''R'' és el radi de la [[circumferència]]. Rebujant ''2R'' obtenim: | on ''R'' és el radi de la [[circumferència]]. Rebujant ''2R'' obtenim: | ||
{{Equació|<math>\frac{a}{sen\,A} = 2R</math>|3=left}}. | {{Equació|<math>\frac{a}{sen\,A} = 2R</math>|3=left}}. | ||
| + | |||
| + | Repetint el procediment en un diàmetro que passe per ''A'' i un atre que passe per ''C'', s'aplega a que les tres fraccions tenen el mateix valor ''2R'' i per tant són iguals. | ||
| + | |||
| + | La conclusió que s'obté sol cridar-se teorema dels sens generalisat i establix: | ||
| + | {{t|Per a un triàngul ''ABC'' on ''a, b, c'' són els costats oposts als ànguls ''A, B, C'' respectivament, si ''R'' denota el radi de la [[circumferència]] circumscrita, llavors: | ||
| + | {{Equació|<math>\frac{a}{sen,A} =\frac{b}{sen,B} =\frac{c}{sen,C}=2R. </math>|3=left}}}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Aplicació == | ||
| + | El teorema dels sens és utilisat per a resoldre problemes en els que es coneixen dos ànguls del triàngul i un costat opost a un d'ells. També s'usa quan coneixem dos costats del triàngul i un àngul opost a un d'ells. | ||
| + | Pot ser amprat la llei dels sens, en reajustaments circumstancials, en: | ||
| + | * Càlcul de l'altura d'un arbre | ||
| + | * Trobar l'àngul d'elevació del sol | ||
| + | * Pla per a construcció de ponts | ||
| + | * Estudie i dibuix de carrils d'una autopista | ||
| + | * Itinerari d'un planage | ||
| + | * Ubicació d'un foc d'incendi | ||
| + | * Situació d'un transmissor de radi clandestí | ||
| + | * L'altitut d'una montanya i atres casos. <ref>Larson. Op. cit</ref> | ||
| + | |||
| + | == Relació en l'àrea del triàngul == | ||
| + | [[Archiu:Formulas para área de un triángulo.svg|thumb|Dos fòrmules per a calcular l'àrea d'un triàngul]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | == Referències == | ||
| + | <references/> | ||
== Vore també == | == Vore també == | ||
| − | |||
* [[Trigonometria]] | * [[Trigonometria]] | ||
** [[Triangulació]] | ** [[Triangulació]] | ||
| Llínea 25: | Llínea 53: | ||
** [[Teorema de Pitàgores]] | ** [[Teorema de Pitàgores]] | ||
| + | [[Categoria:Matemàtiques]] | ||
| + | [[Categoria:Geometria]] | ||
| + | [[Categoria:Trigonometria]] | ||
[[Categoria:Teoremes de trigonometria|Sen]] | [[Categoria:Teoremes de trigonometria|Sen]] | ||
[[Categoria:Triànguls]] | [[Categoria:Triànguls]] | ||
{{Traduït de|es|Teorema de los senos}} | {{Traduït de|es|Teorema de los senos}} | ||
Última revisió del 07:57 8 set 2016
En trigonometria, la teorema dels sens[1] o també conegut com a llei dels sens [2] és una relació de proporcionalitat entre les llongituts dels costats d'un triàngul i els sens dels seus respectius ànguls oposts. Usualment es presenta de la següent forma:
|
Demostració[editar | editar còdic]
A pesar de ser dels teoremas trigonomètrics més usats i de tindre una demostració particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda.
Donat el triàngul ABC, denotem per O el seu circumcentre i dibuixem el seu circumferència circumscrita. Prolongant el segment BO fins a tallar la circumferència, s'obté un diàmetro BP.
Ara, el triàngul PCB és recte, ya que BP és un diàmetro, i ademés els ànguls A i P són congruents, perque abdós són ànguls inscrits que òbrin el segment BC (Vore definició de arc capaç). Per definició de la funció trigonomètrica sen, es té
{{{1}}}
on R és el radi de la circumferència. Rebujant 2R obtenim:
{{{1}}}
.
Repetint el procediment en un diàmetro que passe per A i un atre que passe per C, s'aplega a que les tres fraccions tenen el mateix valor 2R i per tant són iguals.
La conclusió que s'obté sol cridar-se teorema dels sens generalisat i establix: Plantilla:T
Aplicació[editar | editar còdic]
El teorema dels sens és utilisat per a resoldre problemes en els que es coneixen dos ànguls del triàngul i un costat opost a un d'ells. També s'usa quan coneixem dos costats del triàngul i un àngul opost a un d'ells. Pot ser amprat la llei dels sens, en reajustaments circumstancials, en:
- Càlcul de l'altura d'un arbre
- Trobar l'àngul d'elevació del sol
- Pla per a construcció de ponts
- Estudie i dibuix de carrils d'una autopista
- Itinerari d'un planage
- Ubicació d'un foc d'incendi
- Situació d'un transmissor de radi clandestí
- L'altitut d'una montanya i atres casos. [3]
Relació en l'àrea del triàngul[editar | editar còdic]
Referències[editar | editar còdic]
Vore també[editar | editar còdic]
- Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Teorema de los senos de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.