Diferència entre les revisions de "Teorema dels sens"

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Anar a la navegació Anar a la busca
 
(No es mostren 16 edicions intermiges d'3 usuaris)
Llínea 2: Llínea 2:
 
En [[trigonometria]], la '''teorema dels sens'''<ref>Pogorélov. ''Geometria elemental''. Editorial Mir, Moscou(1977)</ref> o també conegut com a '''llei dels sens''' <ref>Larson. ''Trigonometria''. ISBN 978-607-481-7-34 (2011)</ref> és una relació de [[proporcionalitat]] entre les llongituts dels costats d'un [[triàngul]] i els [[sen (matemàtiques)|sens]] dels seus respectius  [[àngul]]s  oposts.
 
En [[trigonometria]], la '''teorema dels sens'''<ref>Pogorélov. ''Geometria elemental''. Editorial Mir, Moscou(1977)</ref> o també conegut com a '''llei dels sens''' <ref>Larson. ''Trigonometria''. ISBN 978-607-481-7-34 (2011)</ref> és una relació de [[proporcionalitat]] entre les llongituts dels costats d'un [[triàngul]] i els [[sen (matemàtiques)|sens]] dels seus respectius  [[àngul]]s  oposts.
 
Usualment es presenta de la següent forma:
 
Usualment es presenta de la següent forma:
−
{{T|Si en un triàngul ''ABC'', les mesures dels costats oposts als ànguls ''A'', ''B'' i ''C'' són respectivament ''a'', ''b'', ''c'', llavors:
+
{{Teorema|Si en un triángul ''ABC'', les mesures dels costats oposts als ànguls ''A'', ''B'' y ''C'' són respectivament ''a'', ''b'', ''c'', llavors:
−
{{Equació|<math>frac{a}{sense,A} =frac{b}{sense,B} =frac{c}{sense,C} </math>}}|títul= Teorema dels sens }}.
+
{{Equació|<math>\frac{a}{sen\,A} =\frac{b}{sen\,B} =\frac{c}{sen\,C} </math>}}|títul= Teorema dels sens }}
 +
 
 
== Demostració ==
 
== Demostració ==
 
A pesar de ser dels [[teorema]]s trigonomètrics més usats i de tindre una [[demostració matemàtica|demostració]] particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda.
 
A pesar de ser dels [[teorema]]s trigonomètrics més usats i de tindre una [[demostració matemàtica|demostració]] particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda.
  
−
[[Archiu:Ley de los senos-prueba.svg|thumb|263px|right|La teorema dels sens establix que ''a/sense(A)'' és constant.]]
+
[[Archiu:Ley de los senos-prueba.svg|thumb|263px|right|La teorema dels sens establix que ''a/sen(A)'' és constant.]]
 
Donat el triàngul ''ABC'', denotem per ''O'' el seu [[circumcentre]] i dibuixem el seu [[circumferència]] circumscrita. Prolongant el segment ''BO'' fins a tallar la [[circumferència]], s'obté un [[diàmetro]] ''BP''.
 
Donat el triàngul ''ABC'', denotem per ''O'' el seu [[circumcentre]] i dibuixem el seu [[circumferència]] circumscrita. Prolongant el segment ''BO'' fins a tallar la [[circumferència]], s'obté un [[diàmetro]] ''BP''.
 +
 +
Ara, el triàngul ''PCB'' és recte, ya que ''BP'' és un diàmetro, i ademés els ànguls ''A'' i ''P'' són congruents, perque abdós són [[àngul inscrit|ànguls inscrits]] que òbrin el segment ''BC'' (Vore definició de [[arc capaç]]). Per definició de la funció trigonomètrica [[sen (matemàtiques)|sen]], es té
 +
{{Equació|<math>sen,A=sen,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}</math>|3=left}}
 +
on ''R'' és el radi de la [[circumferència]]. Rebujant ''2R'' obtenim:
 +
{{Equació|<math>\frac{a}{sen\,A} = 2R</math>|3=left}}.
 +
 +
Repetint el procediment en un diàmetro que passe per ''A'' i un atre que passe per ''C'', s'aplega a que les tres fraccions tenen el mateix valor ''2R'' i per tant són iguals.
 +
 +
La conclusió que s'obté sol cridar-se teorema dels sens generalisat i establix:
 +
{{t|Per a un triàngul ''ABC'' on ''a, b, c'' són els costats oposts als ànguls ''A, B, C''  respectivament, si ''R'' denota el radi de la [[circumferència]] circumscrita, llavors:
 +
{{Equació|<math>\frac{a}{sen,A} =\frac{b}{sen,B} =\frac{c}{sen,C}=2R. </math>|3=left}}}}
 +
 +
 +
== Aplicació ==
 +
El teorema dels sens és utilisat per a resoldre problemes en els que es coneixen dos ànguls del triàngul i un costat opost a un d'ells. També s'usa quan coneixem dos costats del triàngul i un àngul opost a un d'ells.
 +
Pot ser amprat la llei dels sens, en reajustaments circumstancials, en:
 +
* Càlcul de l'altura d'un arbre
 +
* Trobar l'àngul d'elevació del sol
 +
* Pla per a construcció de ponts
 +
* Estudie i dibuix de carrils d'una autopista
 +
* Itinerari d'un planage
 +
* Ubicació d'un foc d'incendi
 +
* Situació d'un transmissor de radi clandestí
 +
* L'altitut d'una montanya i atres casos. <ref>Larson. Op. cit</ref>
 +
 +
== Relació en l'àrea del triàngul ==
 +
[[Archiu:Formulas para área de un triángulo.svg|thumb|Dos fòrmules per a calcular l'àrea d'un triàngul]]
 +
 +
 +
 +
 +
== Referències ==
 +
<references/>
  
 
== Vore també ==
 
== Vore també ==
−
 
 
* [[Trigonometria]]
 
* [[Trigonometria]]
 
** [[Triangulació]]
 
** [[Triangulació]]
Llínea 20: Llínea 53:
 
** [[Teorema de Pitàgores]]
 
** [[Teorema de Pitàgores]]
  
 +
[[Categoria:Matemàtiques]]
 +
[[Categoria:Geometria]]
 +
[[Categoria:Trigonometria]]
 
[[Categoria:Teoremes de trigonometria|Sen]]
 
[[Categoria:Teoremes de trigonometria|Sen]]
 
[[Categoria:Triànguls]]
 
[[Categoria:Triànguls]]
  
 
{{Traduït de|es|Teorema de los senos}}
 
{{Traduït de|es|Teorema de los senos}}

Última revisió del 07:57 8 set 2016

Teorema del sen.

En trigonometria, la teorema dels sens[1] o també conegut com a llei dels sens [2] és una relació de proporcionalitat entre les llongituts dels costats d'un triàngul i els sens dels seus respectius ànguls oposts. Usualment es presenta de la següent forma:

Si en un triángul ABC, les mesures dels costats oposts als ànguls A, B y C són respectivament a, b, c, llavors:

{{{1}}}

Demostració[editar | editar còdic]

A pesar de ser dels teoremas trigonomètrics més usats i de tindre una demostració particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda.

La teorema dels sens establix que a/sen(A) és constant.

Donat el triàngul ABC, denotem per O el seu circumcentre i dibuixem el seu circumferència circumscrita. Prolongant el segment BO fins a tallar la circumferència, s'obté un diàmetro BP.

Ara, el triàngul PCB és recte, ya que BP és un diàmetro, i ademés els ànguls A i P són congruents, perque abdós són ànguls inscrits que òbrin el segment BC (Vore definició de arc capaç). Per definició de la funció trigonomètrica sen, es té

{{{1}}}

on R és el radi de la circumferència. Rebujant 2R obtenim:

{{{1}}}

.

Repetint el procediment en un diàmetro que passe per A i un atre que passe per C, s'aplega a que les tres fraccions tenen el mateix valor 2R i per tant són iguals.

La conclusió que s'obté sol cridar-se teorema dels sens generalisat i establix: Plantilla:T


Aplicació[editar | editar còdic]

El teorema dels sens és utilisat per a resoldre problemes en els que es coneixen dos ànguls del triàngul i un costat opost a un d'ells. També s'usa quan coneixem dos costats del triàngul i un àngul opost a un d'ells. Pot ser amprat la llei dels sens, en reajustaments circumstancials, en:

  • Càlcul de l'altura d'un arbre
  • Trobar l'àngul d'elevació del sol
  • Pla per a construcció de ponts
  • Estudie i dibuix de carrils d'una autopista
  • Itinerari d'un planage
  • Ubicació d'un foc d'incendi
  • Situació d'un transmissor de radi clandestí
  • L'altitut d'una montanya i atres casos. [3]

Relació en l'àrea del triàngul[editar | editar còdic]

Dos fòrmules per a calcular l'àrea d'un triàngul



Referències[editar | editar còdic]

  1. ↑ Pogorélov. Geometria elemental. Editorial Mir, Moscou(1977)
  2. ↑ Larson. Trigonometria. ISBN 978-607-481-7-34 (2011)
  3. ↑ Larson. Op. cit

Vore també[editar | editar còdic]

Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Teorema_dels_sens&oldid=101621»