Diferència entre les revisions de "Representació decimal"
(Text reemplaça - ' entero' a ' sancer') (Etiquetes: Editat des de la versió per a mòvils Editat des de la versió per a mòvils) |
|||
| Llínea 6: | Llínea 6: | ||
:<math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math> | :<math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math> | ||
| − | a on ''a''<sub>0</sub> és un | + | a on ''a''<sub>0</sub> és un sancer no negatiu, y ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … son sancers tals que 0;''a<sub>i</sub>''9 (són els cridats «dígits» de la representació decimal). Si la seqüència de dígits és finita, els ''a''<sub>''i''</sub> restants s'assumixen com 0. Si no es consideren [[0,9 periódico|secuencias infinitas de 9's]], la representació es única.<ref>{{Obra citada |
| last=Knuth | first = D. E. | author-link = Donald Ervin Knuth | | last=Knuth | first = D. E. | author-link = Donald Ervin Knuth | ||
| title = The Art of Computer Programming | | title = The Art of Computer Programming | ||
| Llínea 33: | Llínea 33: | ||
}} | }} | ||
| − | == Cas dels números | + | == Cas dels números sancers == |
| − | Tot número | + | Tot número sancer posseïx una [[Sistema de numeració|escritura natural]] en el [[sistema de numeració decimal]]. Per a obtindre la seua representació decimal és suficient en escriure 10<sup>0</sup> com a denominador. |
== Cas dels números decimals == | == Cas dels números decimals == | ||
| − | Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en ''N'' i ''n'' número | + | Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en ''N'' i ''n'' número sancer. |
Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10. | Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10. | ||
Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal. | Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal. | ||
| Llínea 45: | Llínea 45: | ||
== Cas dels números racionals == | == Cas dels números racionals == | ||
L'expansió decimal d'un número real no negatiu ''x'' terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, ''x'' és un número racional el denominador del qual és de la forma | L'expansió decimal d'un número real no negatiu ''x'' terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, ''x'' és un número racional el denominador del qual és de la forma | ||
| − | 2<sup>''n''</sup>5<sup>''m''</sup>, donde ''m'' y ''n'' són | + | 2<sup>''n''</sup>5<sup>''m''</sup>, donde ''m'' y ''n'' són sancers no negatius. |
{{Demostració|1=Si la expansió decimal de ''x'' termina en zeros, o si <math>x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n</math> para algú ''n'', llavors el denominador de ''x'' és de la forma 10<sup>''n''</sup> = 2<sup>''n''</sup>5<sup>''n''</sup>. | {{Demostració|1=Si la expansió decimal de ''x'' termina en zeros, o si <math>x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n</math> para algú ''n'', llavors el denominador de ''x'' és de la forma 10<sup>''n''</sup> = 2<sup>''n''</sup>5<sup>''n''</sup>. | ||
Revisió de 20:20 3 jun 2022
En matemàtiques, la representació decimal és una manera d'escriure @número real positius, per mig de potències del número 10 (negatives i/o positives). En el cas dels número natural, la representació decimal correspon a la escritura en base 10 usual; per als número racional, s'obté una representació decimal llimitada, o illimitada periòdica si són números periòdics; si són irracionals, la representació decimal és illimitada i no periòdica.
Definició matemàtica
La representació decimal d'un número real no negatiu r, és una expressió matemàtica escrita tradicionalment com una série del tipo
- <math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math>
a on a0 és un sancer no negatiu, y a1, a2, … son sancers tals que 0;ai9 (són els cridats «dígits» de la representació decimal). Si la seqüència de dígits és finita, els ai restants s'assumixen com 0. Si no es consideren secuencias infinitas de 9's, la representació es única.[1]
El número definit per una representació decimal també admet la següent escritura:
- <math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math>
En tal cas, a0 és la part entera de r, no necessariament entre 0 y 9, i a1, a2, a3, … són els dígitos que formen la part fraccionaria de r.
Abdós notacions són, per definició, el llímit de la successió:
- <math> r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}</math>.
Aproximació a número real
Tot número real pot ser aproximat al grau de precisió desijat, per mig de @número racional que posseïxen representacions decimals finites. En efecte, siga <math>x\geq 0</math>; para cada número natural <math>n\geq 1</math> hi ha un @número decimal exacte <math>r_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n</math> tal que
- <math>r_n\leq x < r_n+\frac{1}{10^n}.\,</math>
Cas dels números sancers
Tot número sancer posseïx una escritura natural en el sistema de numeració decimal. Per a obtindre la seua representació decimal és suficient en escriure 100 com a denominador.
Cas dels números decimals
Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en N i n número sancer. Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10. Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal.
Cas dels números racionals
L'expansió decimal d'un número real no negatiu x terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, x és un número racional el denominador del qual és de la forma
2n5m, donde m y n són sancers no negatius.
Plantilla:Demostració= \frac{2^m5^np}{10^{n+m}}</math> para algú p. }}
Vore també
- Sistema de numeració decimal | Notació posicional
- Número decimal
- Número periòdic
- 0,9 periòdic
- IEEE 754
- Simon Stevin | Fracció decimal
Referències
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Bibliografia
- Tom Apostol. , Addison-Wesley.
- Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Representación decimal de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.