Representació decimal

En matemàtiques, la representació decimal és una manera d'escriure @número real positius, per mig de potències del número 10 (negatives i/o positives). En el cas dels número natural, la representació decimal correspon a la escritura en base 10 usual; per als número racional, s'obté una representació decimal llimitada, o illimitada periòdica si són números periòdics; si són irracionals, la representació decimal és illimitada i no periòdica.

Definició matemàtica

La representació decimal d'un número real no negatiu r, és una expressió matemàtica escrita tradicionalment com una série del tipo

<math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math>

a on a₀ és un entero no negatiu, y a₁, a₂, … son enteros tals que 0;a_i9 (són els cridats «dígits» de la representació decimal). Si la seqüència de dígits és finita, els a_i restants s'assumixen com 0. Si no es consideren secuencias infinitas de 9's, la representació es única.

El número definit per una representació decimal també admet la següent escritura:

<math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math>

En tal cas, a₀ és la part entera de r, no necessariament entre 0 y 9, i a₁, a₂, a₃, … són els dígitos que formen la part fraccionaria de r.

Abdós notacions són, per definició, el llímit de la successió:

<math> r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}</math>.

Aproximació a número real

Tot número real pot ser aproximat al grau de precisió desijat, per mig de @número racional que posseïxen representacions decimals finites. En efecte, siga <math>x\geq 0</math>; para cada número natural <math>n\geq 1</math> hi ha un @número decimal exacte <math>r_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n</math> tal que

<math>r_n\leq x < r_n+\frac{1}{10^n}.\,</math>

Cas dels números enteros

Tot número entero posseïx una escritura natural en el sistema de numeració decimal. Per a obtindre la seua representació decimal és suficient en escriure 10⁰ com a denominador.

Cas dels números decimals

Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en N i n número entero. Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10. Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal.

Cas dels números racionals

L'expansió decimal d'un número real no negatiu x terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, x és un número racional el denominador del qual és de la forma

2n5m, donde m y n són enteros no negatius. 

Plantilla:Demostració= \frac{2^m5^np}{10^{n+m}}</math> para algú p. }}

Vore també

• Sistema de numeració decimal | Notació posicional
• Número decimal
• Número periòdic
• 0,9 periòdic
• IEEE 754
• Simon Stevin | Fracció decimal

Bibliografia

• Tom Apostol. , Addison-Wesley.

• Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Representación decimal de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.