Diferència entre les revisions de "Circumferència goniomètrica"

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Anar a la navegació Anar a la busca
m
 
(No se mostren 4 edicions intermiges del mateix usuari)
Llínea 1: Llínea 1:
[[Archiu:Unit circle.svg|thumb|250px|[[Ecuación paramétrica|Parametrización]] de la circunferencia goniométrica. La variable ''t'' es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cos''t'', sin''t'').]]
+
[[Archiu:Unit circle.svg|thumb|250px|[[Ecuació paramétrica|Parametrisació]] de la circumferència goniomètrica. La variable ''t'' és l'àngul i els seus punts són: (x, y) = (cos''t'', sin''t'').]]
  
 
La '''circumferència goniomètrica''', '''trigonomètrica''', '''unitària''' o '''«círcul unitat»''' és una [[circumferència]] de [[ràdio (geometria)|radie]] un, normalment en el seu centre en l'orige (0, 0) d'un [[sistema de coordenades]], d'un [[pla (geometria)|pla @euclídeo]] o [[pla complex|complex]].   
 
La '''circumferència goniomètrica''', '''trigonomètrica''', '''unitària''' o '''«círcul unitat»''' és una [[circumferència]] de [[ràdio (geometria)|radie]] un, normalment en el seu centre en l'orige (0, 0) d'un [[sistema de coordenades]], d'un [[pla (geometria)|pla @euclídeo]] o [[pla complex|complex]].   
Llínea 5: Llínea 5:
 
Dita circumferència s'utilisa en la finalitat de poder estudiar fàcilment les [[raó trigonomètrica|raons trigonomètriques]] i [[funcions trigonomètriques]], per mig de la representació de [[triàngul]]s rectànguls auxiliars.  
 
Dita circumferència s'utilisa en la finalitat de poder estudiar fàcilment les [[raó trigonomètrica|raons trigonomètriques]] i [[funcions trigonomètriques]], per mig de la representació de [[triàngul]]s rectànguls auxiliars.  
  
Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat del primer quadrant, llavors x i i són les llongituts dels catets d'un triàngul rectàngul l'hipotenusa del qual té llongitut 1. Aplicant el [[teorema de Pitàgores]], x i i satisfan la [[equació]]:
+
Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat del primer quadrant, llavors x i i són les llongituts dels catets d'un triàngul rectàngul l'hipotenusa del qual té llongitut 1. Aplicant el [[teorema de Pitàgores]], x i i satisfan l'[[equació]]:
  
 
::::: <math>x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,</math>
 
::::: <math>x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,</math>
  
 
== Funcions trigonomètriques en la circumferència unitària ==
 
== Funcions trigonomètriques en la circumferència unitària ==
[[Archiu:Triángulo-en-círculo|thumb|200px|La circumferència unitat i el triàngul rectàngul associat.]]
+
[[Archiu:Triángulo-en-círculo.svg|thumb|200px|La circumferència unitat i el triàngul rectàngul associat]]
 +
 
 
[[Archiu:Squaring the circle.svg|200px|thumb|El [[àrea]] de la garrofa i del círcul unitari és el [[número pi]].]]
 
[[Archiu:Squaring the circle.svg|200px|thumb|El [[àrea]] de la garrofa i del círcul unitari és el [[número pi]].]]
 
Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat, i el radi que té l'orige en (0, 0), forma un àngul '''<math> alpha , </math>''' en l'eix ''X'', les principals funcions trigonomètriques es poden representar com [[raó (matemàtiques)|raó]] de [[segment]]s associats a [[triàngul rectàngul|triànguls rectànguls]] auxiliars, de la següent manera:
 
Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat, i el radi que té l'orige en (0, 0), forma un àngul '''<math> alpha , </math>''' en l'eix ''X'', les principals funcions trigonomètriques es poden representar com [[raó (matemàtiques)|raó]] de [[segment]]s associats a [[triàngul rectàngul|triànguls rectànguls]] auxiliars, de la següent manera:
  
El [[Sen (matemàtiques)|sen]] és la raó entre el [[catet]] opost (a) i la [[hipotenusa]] (c)
+
El [[Sen (matemàtiques)|sen]] és la raó entre el [[catet]] opost (a) i l'[[hipotenusa]] (c)
  
 
: <math> \sin(\alpha)= \frac{a}{c} </math>
 
: <math> \sin(\alpha)= \frac{a}{c} </math>
Llínea 46: Llínea 47:
 
=== Funcions trigonomètriques recíproques ===
 
=== Funcions trigonomètriques recíproques ===
 
La cosecant, la secant i la cotangent, són les raons trigonomètriques recíproques del sen, cosen i tangent:
 
La cosecant, la secant i la cotangent, són les raons trigonomètriques recíproques del sen, cosen i tangent:
 
+
:<math>
: <math>
+
\csc (\alpha) =
  \csc (\alpha) =
+
\frac{1}{\sin (\alpha)} =
  \frac{1}{\sin (\alpha)} =
+
\overline{OF}
  \overline{OF}
 
 
</math>
 
</math>
  
: <math>
+
:<math>
  \sec (\alpha) =
+
\sec (\alpha) =
  \frac{1}{\cos (\alpha)} =
+
\frac{1}{\cos (\alpha)} =
  \overline{OE}
+
\overline{OE}
 
</math>
 
</math>
  
: <math>
+
:<math>
  \cot (\alpha) =
+
\cot (\alpha) =
  \frac{1}{\tan (\alpha)} =
+
\frac{1}{\tan (\alpha)} =
  \overline{AF}
+
\overline{AF}
 
</math>
 
</math>
  
Els valors de la *cotangente, la secant i la cosecant s'obtenen, anàlogament, per mig de semblança de triànguls.
+
Els valors de la cotangent, la secant i la cosecant s'obtenen, anàlogament, per mig de semblança de triànguls.
  
 
== Topologia ==
 
== Topologia ==

Última revisió del 19:22 28 oct 2018

Parametrisació de la circumferència goniomètrica. La variable t és l'àngul i els seus punts són: (x, y) = (cost, sint).

La circumferència goniomètrica, trigonomètrica, unitària o «círcul unitat» és una circumferència de radie un, normalment en el seu centre en l'orige (0, 0) d'un sistema de coordenades, d'un pla @euclídeo o complex.

Dita circumferència s'utilisa en la finalitat de poder estudiar fàcilment les raons trigonomètriques i funcions trigonomètriques, per mig de la representació de triànguls rectànguls auxiliars.

Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat del primer quadrant, llavors x i i són les llongituts dels catets d'un triàngul rectàngul l'hipotenusa del qual té llongitut 1. Aplicant el teorema de Pitàgores, x i i satisfan l'equació:

<math>x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,</math>

Funcions trigonomètriques en la circumferència unitària[editar | editar còdic]

La circumferència unitat i el triàngul rectàngul associat
El àrea de la garrofa i del círcul unitari és el número pi.

Si (x, i) és un punt de la circumferència unitat, i el radi que té l'orige en (0, 0), forma un àngul <math> alpha , </math> en l'eix X, les principals funcions trigonomètriques es poden representar com raó de segments associats a triànguls rectànguls auxiliars, de la següent manera:

El sen és la raó entre el catet opost (a) i l'hipotenusa (c)

<math> \sin(\alpha)= \frac{a}{c} </math>

i ya que l'hipotenusa és igual al radi, que té valor = 1, es deduïx:

<math> \sin(\alpha)= a \, </math>

El cosen és la raó entre el catet adjacent (b) i l'hipotenusa (c)

<math> \cos(\alpha)= \frac{b}{c} </math>

i com l'hipotenusa té valor = 1, es deduïx:

<math> \cos(\alpha)= b \, </math>

La tangent és la raó entre el catet opost i l'adjacent

<math> \tan(\alpha)= \frac{a}{b} </math>

[[Archivo:Circle-trig6.svg|thumb|300px|Principals valors de les raons trigonomètriques representats com segments respecte de la circumferència goniomètrica.]] [[Archivo:Unit circle angles.svg|thumb|300px|Valors dels ànguls més comunes i les coordenades corresponents sobre la circumferència goniomètrica .]]

Per semblança de triànguls: AE / AC = OA / OC

com OA = 1, es deduïx que: AE = AC / OC

<math> \tan(\alpha)= \overline{AE} \,</math>

Funcions trigonomètriques recíproques[editar | editar còdic]

La cosecant, la secant i la cotangent, són les raons trigonomètriques recíproques del sen, cosen i tangent:

<math>

\csc (\alpha) = \frac{1}{\sin (\alpha)} = \overline{OF} </math>

<math>

\sec (\alpha) = \frac{1}{\cos (\alpha)} = \overline{OE} </math>

<math>

\cot (\alpha) = \frac{1}{\tan (\alpha)} = \overline{AF} </math>

Els valors de la cotangent, la secant i la cosecant s'obtenen, anàlogament, per mig de semblança de triànguls.

Topologia[editar | editar còdic]

En topologia, a la circumferència unitària (també denominat disc unitat) li la classifica com S1; la generalisació per a una dimensió més és l'esfera unitat S2.

Vore també[editar | editar còdic]

Commons