Uiquillibres:Cinemàtica

Introducció a la Cinemàtica

La cinemàtica és una branca de la física dedicada a l'estudi del moviment dels cossos en l'espai, sense atendre a les causes que ho produïxen (lo que cridem forces). Per tant la cinemàtica només estudia el moviment en sí, a diferència de la dinàmica que estudia les interaccións que ho produïxen. L'Anàlisis Vectorial és la ferramenta matemàtica més adequada per a ells.

En cinemàtica distinguim les següents parts:

• Cinemàtica de la partícula
• Cinemàtica del sòlit rígit

La magnitut vectorial de la cinemàtica fonamental és el "desplaçament" Δs, que experimenta un cos durant un lapsus Δt. Com el desplaçament és un vector, per tant, seguix la llei del paralelogram, o la llei de suma vectorial. Aixinsi un cos realisa un desplaçament "consecutiu" o "al mateix temps" dos desplaçaments 'a' i 'b', nos dona un desliçament igual a la suma vectorial de 'a'+'b' com un sol desplaçament.

Dos moviments al mateix temps entren principalment, quan un cos es mou respecte a un sistema de referència i eixe sistema de referència es mou relativament a un atre sistema de referència. Eixemple: El moviment d'un viager en un tren en moviment, que esta sent vist per un observador des d'un tossal. O quan un viaja en coche i observa les montanyes i els àrbols al seu entorn.

Observació sobre la notació: en el text i en la ilustració es nomena als vectors en lletres negreta i cursives. En les fòrmules i equacions, que s'escriuen en TeX, són vectors els que tenen una flecha sobre les seues lletres

Conceptes....

Model físic: Per a estudiar la realitat, els físics se servixen de 'models' que, en certa aproximació i en determinades condicions, corresponen en ella. S'usen per a realisar càlculs teòrics. Aixina, pot modelisar-se un baló en una esfera per a, per eixemple, calcular el seu volum en certa aproximació coneixent el seu radi aproximat, encara que no és exactes.

Punt: És un model físic. Es referix a un element de volum despreciable (es considerarà sense volum) situat en l'espai (en 3D. Busca 'espai euclidià' per a més detalls).

Posició: Cridem posició d'un punt a la seua localisació sobre un sistema de referència (lo que en física es diu 'observador').

Sistema de referència: És aquell sistema coordinat respecte al qual es dona la posició dels punts i el temps (a determinades velocitats el temps canvia, busqueu la paradoxa dels bessons). Profundisarem més en este tema quan s'aborde el de Moviment relatiu.

Temps: Pel nostre parlar sembla complicat de definir. Els grecs varen donar una solució que, per ara, nos pot valdre. Cridem temps al continuu transcorregut entre dos instants.

Partícula puntual: És un model físic. Es referix a un element de tamany diferencial (molt chicotet) i massa concentrada en la seua posició.

Sòlit rígit o, simplement, sòlit: És un atre model físic. Pot definir-se de vàries formes. La més usada és la que ho fa com un cos les distàncies del qual entre partícules permaneixen constants en el temps. Encara que esto no ocorre en la realitat, per a esforços moderats una taula seguirà sent rígida, pero un globo pot no respondre a este model.

Rapidea i acceleració

Diàriament escoltem els conceptes de rapidea i acceleració com a velocitat i acceleració solament. Pero en física la velocitat i l'acceleració són vectors, per lo que és clar i necessari la seua diferenciació i enteniment. D'ací en avant (més per costum que per ganes) cridarem tant a la rapidea i a l'acceleració solament com a velocitat i acceleració (a menos que s'especifique lo contrari).

Si cobrix una massa puntual en un punt P en un temps Δt el tram Δs, es cridara al cocient Δs / Δt la seua velocitat mija v_m en l'interval de temps Δt o en el tram Δs.

<math>

v_m = \fracPlantilla:\Delta s Plantilla:\Delta t

</math>

S'observa que Δs ací no és el desplaçament, sino la llongitut d'arc: és el camí recorregut.

La cridem velocitat mija perque la massa puntual no es mou pel trayecte uniforme traçat. O siga estem prenent només els punts final i inicial per a fer els càlculs.

Fem el trayecte com a Δs (de manera diferencial, o siga infinitesimal), de la mateixa manera que a l'interval de temps Δt. Per a Δs propenc a zero (o Δt propenc a zero, que tenda a zero) el cocient Δs/Δt com a valor al llímit, nos dona la velocitat v de la massa puntual en el punt P, aixina:

<math>

v = \lim_{\Delta s \to 0} \fracPlantilla:\Delta s Plantilla:\Delta t \equiv \lim_{\Delta t \to 0} \fracPlantilla:\Delta s Plantilla:\Delta t.

</math>

En l'anàlisis es pot calcular eixe valor al llímit també com a ds/dt. Aixina:

<math>

v = \frac{{\operatorname{d} s}} {{\operatorname{d} t}}\,.

</math>

Prengam despuix una massa puntual que té en el punt P i en el temps t la velocitat v; i en el temps t + Δt i la velocitat v + Δv. Podem calcular el cocient Δv/Δt com l'acceleració mija a_m de la massa puntual en l'interval de temps Δt:

<math>

a_m = \fracPlantilla:\Delta v Plantilla:\Delta t.

</math>

Per a Δt propenc a zero s'aspira a que eixe cocient tinga un valor llímit, l'acceleració a de la massa puntual per al temps t.

<math>

a = \lim _{\Delta t \to 0} \fracPlantilla:\Delta v Plantilla:\Delta t.

</math>

Per a eixe valor llímit, es pot simplificar:

<math>

a = \frac{{\operatorname{d} v}} {{\operatorname{d} t}}.

</math>

És el camí s descrit com una funció analítica del temps t, aixina s=s(t), aixina és la funció de velocitat v(t) la primera derivada de la funció s(t) sobre el temps, la funció d'acceleració a(t) és la segona derivada. La derivació sobre el temps es pot també escriure com un punt sobre les variables.

<math>

v(t) = \frac{{\operatorname{d} s(t)}} {{\operatorname{d} t}} = \dot s(t);\quad \quad a(t) = \frac{{\operatorname{d} v(t)}} {{\operatorname{d} t}} = \dot v(t) = \frac{{\operatorname{d} ^2 s}} {{\operatorname{d} t^2 }} \equiv \ddot s(t).

</math>

En sentit contrari es pot trobar la funció de velocitat i la funció de la trayectòria a través de la integració:

<math>

v(t) = \int {a(t)\,\operatorname{d} t;\quad s(t) = \int {v(t)\,\operatorname{d} t = \iint {a(t)\,\operatorname{d} t\,\operatorname{d} t.}} }

</math>