Edició de «Regla de tres»

La '''regla de tres'''  és una forma de resoldre problemes de [[proporcionalitat]] entre tres o més valors coneguts i una incògnita. En ella s'establix una [[Funció llineal|relació de llinealitat]] (proporcionalitat) entre els valors involucrats.

: ''Regla de tres és l'operació de trobar el quart terme d'una proporció coneixent els atres tres''.<ref>{{cita libro
| título= Tratado de aritmética : 3 grado
| editor= 20
| editorial= Editorial Bruño
| año= 1981
| idioma= español
| isbn= 978-84-216-0196-9
| páginas= 187
}}</ref><ref>{{cita libro
| autor= Juan Gerard
| título= Tratado completo de aritmética 
| editor=
| editorial= 1
| año= 1797
| idioma= español
| isbn=
| páginas= 72
}}</ref><ref>{{cita libro
| autor= S. F. Lacroix
| título= Tratado elemental de aritmética. (Tomo 1)
| editor= Imprenta Nacional Marid
| editorial= 5
| año= 1839
| idioma= español
| isbn=
| páginas= 288
}}</ref>

La regla de tres més coneguda és la regla de tres simple directa, encara que també existix la regla de tres simple inversa i la regla de tres composta.

== Regla de tres simple ==
En la regla de tres simple, s'establix la relació de proporcionalitat entre dos valors coneguts ''A'' i ''B'', i coneixent un tercer valor '''X''', calculem un quart valor. '''Y'''. <ref>{{cita libro
| autor= Placencia Valero, Job
| título= Compendio de matemática básica elemental
| editor=
| editorial= Editorial Tébar, S.L. 
| año= 2008
| idioma= español
| isbn= 978-84-7360-294-5 
| páginas= 49
}}</ref>

: <math>
   \begin{array}{ccc}
      A & \longrightarrow & B \\
      X & \longrightarrow & Y
   \end{array}
</math>

La relació de proporcionalitat pot ser directa o inversa, serà directa quan a un major valor de '''A''' hi haurà un major valor de '''B''', i serà inversa, quan es de que, a un major valor de '''A''' corresponga un menor valor de '''B''', vejam cada u d'eixos casos.


=== Regla de tres simple directa ===
[[Archiu:Relación directa.svg|260px|right]]

La regla de tres simple directa es fonamenta en una relació de [[proporcionalitat]], per #lo que ràpidament s'observa que:

: <math>
   \frac{B}{A} =
   \frac{Y}{X} =
   k
</math> 

A on '''k''' és la constant de proporcionalitat, per a que esta proporcionalitat es complixca tenim que a un aument de '''A''' li correspon un aument de '''B''' en la mateixa proporció. Que podem representar:

: <math>
   \left .
      \begin{array}{ccc}
         A & \longrightarrow & B \\
         X & \longrightarrow & Y
      \end{array}
   \right \}
   \rightarrow \quad
   Y = \cfrac{B \cdot X}{A}
</math>


i direm que: '''A''' és a '''B''' directament, com a '''X''' és a '''Y''', sent '''Y''' igual al producte de '''B''' per '''X''' dividit entre '''A'''.

Imaginem que se nos planteja lo següent:
{{definició|
Si necessite 8 litros de pintura per a pintar 2 habitacions, ¿quants litros necessite per a pintar 5 habitacions?
}}

Este problema s'interpreta de la següent manera: la relació és directa, ya que, a major número d'habitacions farà falta més pintura, i ho representem aixina:

: <math>
   \left .
      \begin{array}{ccc}
         2 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & 8 \; \text{litros} \\
         5 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & Y \; \text{litros}
      \end{array}
   \right \}
   \rightarrow \quad

   Y =
   \cfrac{8 \; \text{litros} \cdot 5 \; \text{habitacions} }{2 \; \text{habitacions} } =
   20 \; litros
</math>

=== Regla de tres simple inversa ===
[[Archiu:Relación inversa.svg|260px|right]]

En la regla de tres simple inversa,<ref>{{cita libro
| apellido= Álvarez Pérez
| nombre= Antonio
| título= Enciclopedia Álvarez, 3er grado
| editor=
| editorial= Editorial Edaf, S.A. 
| año= 1997
| idioma=inglés
| isbn= 978-84-414-0244-7 
| página= 245

}}</ref> en la relació entre els valors se cumplix que:

: <math>
   A \cdot B =
   X \cdot Y =
   e
</math>

a on '''e''' és un producte constant, per a que esta constant es conserve, tindrem que un aument de '''A''', necessitara una disminució de '''B''', per a que el seu producte permaneixca constant, si representem la regla de tres simple inversa, tindrem:

: <math>
   \left .
      \begin{array}{ccc}
         A & \longrightarrow & B \\
         X & \longrightarrow & Y
      \end{array}
   \right \}
   \rightarrow \quad
   Y = \cfrac{A \cdot B}{X}
</math>

i direm que: '''A''' és a '''B''' inversament, com a '''X''' és a '''Y''', sent '''Y''' igual al producte de '''A''' per '''B''' dividit per '''X'''.

Si per eixemple tenim el problema:
{{definició|
Si 8 treballadors construïxen un mur en 15 hores, ¿quànt tardaran 5 treballadors en alçar el mateix mur?
}}

Si s'observa en atenció el sentit de l'enunciat, resulta evident que quants més obrers treballen, menys hores necessitaran per a alçar el mateix mur (suponent que tots treballen al mateix ritme).

: <math>
   8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} =
   5 \; \text{treballadors} \cdot Y \; \text{hores} =
   120 \; \text{hores de treball}
</math>

El total d'hores de treball necessàries per a alçar el mur són 120 hores, que poden ser aportades per un sol treballador que ampre 120 hores, 2 treballadors en 60 hores, 3 treballadors ho faran en 40 hores, etc. En tots els casos el número total d'hores permaneix constant.

Tenim per tant una relació de ''proporcionalitat inversa'', i deurem aplicar una regla de tres simple inversa, tenim:

: <math>
   \left .
      \begin{array}{ccc}
         8 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & 15 \; \text{hores} \\
         5 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & Y \; \text{hores}
      \end{array}
   \right \}
   \rightarrow \quad
   Y = \cfrac{8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} }{5 \; \text{treballadors} } =
   24 \; \text{hores}
</math>

== Regla de tres composta ==
En ocasions el problema plantejat involucra més de tres cantitats conegudes, ademés de la desconeguda.<ref>{{cita libro
| autor= Placencia Valero, Job
| título= Compendio de matemática básica elemental
| editor=
| editorial= Editorial Tébar, S.L. 
| año= 2008
| idioma= español
| isbn= 978-84-7360-294-5 
| páginas= 50
}}</ref> Observem el següent eixemple:

{{definició|
Si 12 treballadors construïxen un mur de 100 metros en 15 hores, ¿quants treballadors es necessitaran per a alçar un mur de 75 metros en 26 hores?
}}

En el problema plantejat apareixen dos relacions de proporcionalitat al mateix temps. Ademés, per a completar l'eixemple, s'ha inclós una relació inversa i una atra directa. En efecte, si un mur de 100 metros ho construïxen 12 treballadors, és evident que per a construir un mur de 75 metros es necessitaran menys treballadors. Quan més chicotet és el mur, menys número d'obrers precisem: es tracta d'una relació de ''proporcionalitat directa''. Per un atre costat, si disponem de 15 hores per a que treballen 12 obrers, és evident que disponent de 26 hores necessitarem menys obrers. En aumentar una cantitat, disminuïx l'atra: es tracta d'una relació de ''proporcionalitat inversa''.

El problema s'enunciaria aixina:
{{definició|
100 metros són a 15 hores i 12 treballadors com 75 metros són a 26 hores i '''I''' treballadors.
}}

La solució al problema és multiplicar 12 per 75 i per 15, i el resultat dividir-ho entre el producte de 100 per 26. Per tant, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que per [[grosseig]] resulten ser 6 treballadors ya que 5 treballadors no serien suficients).

Formalment el problema es planteja aixina:  

: <math>
   \begin{matrix}
      A & \longrightarrow & B \longrightarrow & C \\
      X & \longrightarrow & Z \longrightarrow & Y
   \end{matrix}
</math>

* La resolució implica plantejar cada regla de tres simple per separat. Per un costat, la primera, que, recordem, és directa, i es resol aixina:

: <math>
   \left .
      \begin{matrix}
         A & \longrightarrow & C \\
         X & \longrightarrow & Y
      \end{matrix}
   \right \}
   \quad \longrightarrow \quad
   Y = \frac{X \cdot C}{A}
</math>

* A continuació plantegem la segona, que, recordem, és inversa, i es resol aixina:
: <math>
   \left .
      \begin{matrix}
         B & \longrightarrow & C \\ 

         Z & \longrightarrow & Y
      \end{matrix}
   \right \}
   \quad \longrightarrow \quad
   Y = \frac{B \cdot C}{Z}
</math>

* A continuació unim abdós operacions en una sola, anant en conte de no repetir cap terme (és dir, afegint el terme '''C''' una sola volta):

: <math>
   Y = \frac{X \cdot B \cdot C}{A \cdot Z}
</math>

lo que nos dona la solució buscada.

El problema es pot plantejar en tots els térmens que es vullga, siguen totes les relacions directes, totes inverses o mesclades, com en el cas anterior. Cada regla ha de plantejar-se en sum conte, tenint en conte si és inversa o directa, i tenint en conte (açò és molt important) no repetir cap terme en unir cada una de les relacions simples.

== Eixemples ==
* Per a passar 60 [[Grau Celsius|graus]] a [[radian|radians]] podríem establir la següent regla de tres:

Ubiquem l'incògnita en la primera posició:

<math>
   \begin{matrix}
      180^\circ & \longrightarrow & \pi \; \text{radianes} \\
       60^\circ & \longrightarrow & X \; \text{radianes}
   \end{matrix}
</math>
||left}}

Açò formalisa la pregunta "¿Quants radians hi ha en 60 graus, ya que π radians són 180 graus?". Aixina tenim que:

{{equació|
<math> X = \frac{\pi \; \text{radianes} \cdot 60^\circ}{180^\circ}= \frac{\pi}{3} \; \text{radianes} </math>
||left}}
A on π és el [[Número π]].

Una tècnica útil per a recordar cóm trobar la solució d'una regla de tres és la següent: X és igual al producte dels térmens creuats (π i 60, en este cas) dividit pel terme que està creuat en X.

* Calcular quànts minuts hi ha en 7 hores. Sabem que hi ha 60 minuts en 1 hora, per #lo que escrivim:

: <math>
   \begin{matrix}
      1 \; \text{hora}  & \longrightarrow & 60 \; \text{minutos}  \\
      7 \; \text{horas} & \longrightarrow & X  \; \text{minutos}
   \end{matrix}
</math>

El resultat és:
: <math>
   X =
   \frac
      {60 \; \text{minutos} \cdot 7 \; \text{horas}}
      {1 \; \text{hora}}
   = 420 \; \text{minutos}
</math>

== Referències ==
<references/>

== Bibliografia ==
# {{cita llibre
 |apellidos= Varas
 |nombre= Antonio
 |coautores=
 |editor= en la imprenta de la viuda de Ibarra
 |otros=
 |título= Aritmética y geometría práctica de la Real Academia de San Fernando
 |edición=
 |año= 1801
 |editorial=
 |idioma= español
 |id=
 |isbn=
 |páginas= 106-120
 |cita=
}}
# {{cita libro
 |apellidos= Bils
 |nombre= Benito
 |coautores=
 |editor= Viuda de Joaquín Ibarra.
 |otros=
 |título= Principios de aritmética de la Real Academia de San Fernando
 |edición=
 |año= 1839
 |editorial=
 |idioma= español
 |id=
 |isbn=
 |páginas= 149-154
 |cita=
}}
# {{cita libro
 |apellidos= Contreras
 |nombre= Manuel María
 |coautores=
 |editor= Imp. J.F. Jens
 |otros=
 |título= Elementos de aritmética razonada: escritos para use de los alumnos de la Escuela nacional preparatoria
 |edición= 6
 |año= 1884
 |editorial=
 |idioma= español
 |id=
 |isbn=
 |páginas=
 |cita=
}}
# {{cita libro
 |apellidos= 
 |nombre= 
 |coautores=
 |editor= Equipo Rosalía de Castro
 |otros=
 |título= Proporcionalidad y regla de tres, iniciación, Educación Primaria
 |edición= 1
 |año= 1997
 |editorial= Editorial Escudo, S.L. 
 |idioma= español
 |id=
 |isbn= 978-84-89833-33-3
 |páginas=
 |cita=
}}
# {{cita libro
 |apellidos= Nogueira
 |nombre= Gerardo
 |coautores=
 |editor=
 |otros=
 |título= Problemas de Regla de Tres
 |edición=
 |año= 2003
 |editorial= Imaginador
 |idioma= español
 |id=
 |isbn= 978-98-75202-08-5
 |páginas=
 |cita=
}}
# {{cita libro
 |apellidos= Teresa
 |nombre= M. Dal
 |coautores=
 |editor=
 |otros=
 |título= 200 Ejercicios de Regla de Tres
 |edición=
 |año= 2004
 |editorial= Imaginador
 |idioma= español
 |id=
 |isbn= 9789875202566
 |páginas=
 |cita=
}}
# {{cita libro
 |apellidos= Ballester Sampedro
 |nombre= José Ignacio
 |coautores= Ballester Sampedro, Francisco Javier. Ballester Sampedro, Sergio
 |editor=
 |otros=
 |título= Ejercicios de proporcionalidad en secundaria
 |edición= 1
 |año= 2008
 |editorial= Liber Factory
 |idioma= español
 |id=
 |isbn= 978-84-9869-658-5
 |páginas=
 |cita=
}}
# {{cita libro
 |apellidos= Margallo Toral
 |nombre= José
 |coautores=
 |editor=
 |otros=
 |título= Matemáticas, 3 ESO
 |edición= 1
 |año= 2010
 |editorial= Editorial Editex, S.A. 
 |idioma= español
 |id=
 |isbn= 978-84-9771-427-3
 |páginas=
 |cita=
}}

== Enllaços externs ==
* [http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_00250.html Regla de Tres]
* [http://www.thatquiz.com/es/mc?GBOM1530 Regla de tres directa]

[[Categoria:Matemàtiques]]
[[Categoria:Aritmètica]]

{{Traduït de|es|Regla de tres}}