Valor temps dels diners

El valor dels diners en el temps (en anglés, clave value of money, abreviat usualment com TVM) és un concepte econòmic basat en la premissa de que un inversor preferix rebre un pagament d'una suma fixa de diners hui, en lloc de rebre el mateix valor nominal en una determinada data futura. Esta preferència es deu a que, si l'inversor rep els diners hui, podria reinvertir els diners per a obtindre un monte major en la data, pel interés que genera dita inversió.

Molts autors relacionen erròneament el "valor dels diners en el temps" en l'inflació. Ya que com s'explica anteriorment, l'inversor podria trobar-se en un context sense inflació i realisar una inversió per a obtindre un interés. I si be l'inflació esperada influïx en el valor de l'interés que genere l'inversió (sent major quant més gran siga l'inflació esperada), les inversions es realisen en una determinada taxa d'interés encara en inflació esperada nula.

Càlculs

Totes les fòrmules relacionades en este concepte estan basades en la mateixa fòrmula bàsica, el valor present d'una suma futura de diners, descontada al present. Per eixemple, una suma FV a ser rebuda dins d'un any deu ser descontada (a una taxa apropiada r) per a obtindre el valor present, PV.

Alguns dels càlculs comuns basats en el valor temps dels diners són:

• Valor present (PV) d'una suma de diners que serà rebuda en el futur.
• Valor present d'una anualidad (PVA) és el valor present d'un fluix de pagaments futurs iguals, com els pagaments que es fan sobre una hipoteca.
• Valor present d'una perpetuidad és el valor d'un fluix de pagaments perpetus, o que s'estima no seran interromputs ni modificats mai.
• Valor futur (FV) d'un monte invertit (per eixemple, en una conte de depòsit) a una certa taxa d'interés.
• Valor futur d'una anualidad (FVA) és el valor futur d'un fluix de pagaments (anualidades), a on s'assumix que els pagaments es reinvierten a una determinada taxa d'interés.

Hi ha una série bàsica d'equacions que representen les operacions llistades anteriorment. Les solucions poden ser calculades (en la majoria dels casos) usant les fòrmules, una calculadora financera o una hoja. Les fòrmules estan programades en casi totes les calculadores financeres, i alguns programes de hoja també les tenen a disposició de l'usuari (per eixemple, PV, FV, RATE, NPER i PMT).

Per a qualsevol de les equacions, les fòrmules poden ser utilisades per a determinar qualsevol de les variables desconegudes. Per al cas de les taxes d'interés, no obstant, no existix un procediment matemàtic per a resoldre-les, per lo que l'única forma de fer-ho és per mig de prova i error (per a estos casos, una calculadora financera o una hoja és sumament útil, puix les proves tarden fraccions de segon).

Les equacions són freqüentment combinades per a usos particulars. Per eixemple, el preu dels abonaments pot ser calculat usant estes equacions.

Per als càlculs sobre anualidades, es deu tindre clar si els pagaments es fan a l'inici o al final del periodo.

Fòrmules

Valor present d'una suma futura

El valor present dels diners és el monte que una persona estaria disposta a pagar hui a canvi d'una cantitat que rebrà en el futur i està donat per

$VP=\frac{VF}{(1+i{)}^n}$

a on

1. $VP$ és el valor en el temps $0$ (és dir, el present),
2. $VF$ és el valor en el temps $n$ (futur),
3. $i$ és la taxa baix la qual els diners seran aumentats en cada periodo a través del temps (interés compost),
4. $n$ és el número de periodos a futur.

Esta fòrmula és fonamental per a determinar el valor temps dels diners; totes les demés fòrmules s'obtenen a partir d'esta.

El valor present acumulat de fluix d'efectiu futurs pot ser calculat sumant les contribucions de $F{V}_t$, el valor del fluix d'efectiu en el temps $t$:

$VP=\sum _{t=0}^n\frac{V{F}_t}{(1+r{)}^t}$

Note's que esta série pot ser sumada per a un valor $n$ dau, o quan $n\to \mathrm{\infty }$.

Valor present d'una anualidad per a n periodos de pagament

En este cas els valors de fluix d'efectiu es mantenen constants a través de n periodos. El valor present d'una anualidad (VPA) té quatre variables:

1. VPA, el valor dels diners en temps t = 0.
2. A, el valor dels pagaments individuals en cada periodo.
3. i, la taxa de desconte per a cada periodo.
4. n és el número de periodos de pagament.

$VP(A)=\frac{A}{i}\cdot \left[1-\frac{1}{{(1+i)}^n}\right]$

Per a obtindre el VP d'una anualidad anticipada, multiplicar l'equació anterior per (1 + i).

Valor present d'una anualidad creixent

En este cas, cada u dels fluix d'efectiu creixen per un factor de (1+g). Similar a la fòrmula d'una anualidad, el valor present d'una anualidad creixent usa les mateixes variables en adició a g, que és la taxa de creiximent de la anualidad (A és el pagament de la anualidad en el primer periodo).

$VP=\frac{A}{(i-g)}[1-{\left(\frac{1+g}{1+i}\right)}^n]$

Valor present d'una perpetuidad

Quan $n\to \mathrm{\infty }$, el PV d'una perpetuidad (una anualidad perpètua) és una simple divisió:

$PV(P)=\frac{A}{i}$

Valor present d'una perpetuidad creixent

Quan la perpetuidad anual creix a una taxa fixa (g), es deu utilisar esta fòrmula. En la realitat, hi ha pocs instruments financers que complixquen en esta característica. No obstant, suponga que un analiste intenta calcular el valor de l'acció d'una empresa que paga dividents. L'analiste podrà estimar el pagament de dividents per als pròxims periodos, pero aplegarà a un punt en que no podrà seguir estimant cap al futur. A partir d'este punt, l'analiste deu estimar quànt pot créixer el pagament de dividents en la perpetuidad. Per eixemple, l'empresa aumentarà els dividents en un 3 % durant els pròxims tres anys, i d'ahí en avant, els dividents aumentaran un 1 % cada any. El valor d'esta perpetuidad es calcula de la següent forma:

$VPGP=\frac{A}{(i-g)}$

Valor futur d'una anualidad

• VF(A), el valor de la anualidad A en el temps = n (futur).
• A, el valor dels pagaments individuals en cada periodo de pagament.
• i, la taxa d'interés.
• n, el número de periodos de pagament.

$VF(A)=A\cdot \frac{{(1+i)}^n-1}{i}$

Valor futur d'una anualidad creixent

Consistix en l'idea d'invertir en el moment actual, per a obtindre un rendiment en el futur.

• VF(A), el valor de la anualidad A en el temps $n$.
• A, el valor dels pagaments individuals en cada periodo de pagament.
• i, la taxa d'interés.
• g, la taxa de creiximent en cada periodo.
• n, el número de periodos de pagament.

Quan $i\ne g$, tenim

• $VF(A)=A\cdot \frac{{(1+i)}^n-{(1+g)}^n}{i-g}$,

mentres que si $i=g$, resulta

• $VF(A)=A\cdot n(1+i{)}^{n-1}.$