Teoria de les semblances

Preparant un model per a la seua prova en el túnel aerodinàmic.

La teoria de les semblances és aquella que s'ampra per al treball en models a escala en túnels aerodinàmics en l'objectiu de que el comportament dels mateixos siga lo més propenc possible a com es comportaria en una situació real l'objecte en qüestió. Manifesta que els criteris fonamentals per a establir la semblança d'un model a escala en l'objecte real són els de el número de Reynolds i el número de Mach. Els objectes d'estudi poden ser vehículs espacials, avions, ponts i edificacions.

Semblances entre el model i l'objecte real

Per a analisar per mig d'un model a escala els fenomens que podrien ocórrer en l'objecte real és necessari que entre abdós (model i objecte real) existixca semblança geomètrica, cinemàtica i dinàmica.

Semblança geomètrica

Segons esta teoria, els casos més simples de les semblances de fenomens, és la semblança geomètrica. Dos fenomens (coses) són geomètricament semblants si totes les corresponents dimensions llineals que les caracterisen són proporcionals. Els criteris de semblança geomètrica són relacions entre qualsevol corresponents dimensions llineals. En els fenomens geomètricament semblants, tots els criteris homònims de semblança geomètrica són iguals.

Semblança cinemàtica

Dos fenomens són cinemáticamente semblants si en la semblança geomètrica, té lloc al mateix temps, proporcionalitat i orientació igual dels vectors de velocitat en tots els punts adequats. Els criteris principals de semblança cinemàtica són ànguls que determinen la posició d'un cos respecte al vector velocitat de la corrent lliure.

Semblança dinàmica

Dos fenomens són dinàmicament semblants si en la semblança cinemàtica té lloc la proporcionalitat i orientació igual dels vectores forces en tots els punts adequats de dits fenomens. Parlant en rigor, la semblança dinàmica es conseguix solament si té lloc la semblança completa de fenomens quan totes les magnituts físiques similars són iguals en tots els punts corresponents. Per a obtindre en la pràctica la similitut de fenomens aerodinàmics basta conseguir la proporcionalitat de les forces de roçament i pressió lo que simplifica molt este problema.

Criteris de semblança

Per número de Reynolds

Supongam que hem conseguit la similitut de dos fenomens aerodinàmics. Per eixemple, fenomens de derrame al voltant de l'ala de l'avió en vol i el del seu model. Que siguen determinades per via experimental les forces aerodinàmiques que actuen en el model. Per a aplicar estos resultats a un planejador real és necessari establir l'equació que podria relacionar les forces aerodinàmiques en dos fenomens semblants. En la finalitat de deduir tal equació anem a rebujar prop del ala real una partícula d'aire elemental en massa $d{m}_1$ (Totes les magnituts referents al planejador les designarem en el subíndex 1 i al model en 2). Que sobre la partícula rebujada des del costat de l'aire ambiente actue la força $d{R}_1$. Llavors dita partícula en el seu moviment adquirirà l'acceleració $A_1=\frac{d{V}_1}{dt}$ i segons la Segona llei de Newton:

$d{R}_1=dm\frac{d{V}_1}{dt}$

El volum de la mateixa partícula ho expressarem en la forma $d{V}_1=E_{1}d{l}_1^3$ sent $d{l}_1$ la disminució llineal característica i $E_1$ el factor de forma. Per tant, la massa de la partícula $d{m}_1=\rho d{V}_1=\rho E_{1}d{l}_1^3$ i l'expressió de la força elemental es posa en la forma:

$d{R}_1={\rho }_1{E}_{1}d{l}_1^3\frac{d{V}_1}{dt}={\rho }_1{E}_{1}d{l}_1^2\frac{d{l}_1}{dt}d{V}_1={\rho }_1{E}_{1}d{l}_1^2{V}_{1}d{V}_1$

L'expressió anàloga pot escriure's també per a la partícula corresponent al model d'un fenomen:

$d{R}_2={\rho }_2{E}_{2}d{l}_2^2{V}_{2}d{V}_2$

La relació de les forces elementals que obren en un fenomen i en el seu model serà:

$\frac{d{R}_1}{d{R}_2}=\frac{{\rho }_1{E}_{1}d{l}_1^2{V}_{1}d{V}_1}{{\rho }_2{E}_{2}d{l}_2^2{V}_{2}d{V}_2}$

En unitat de la semblança geomètrica $E_1=E_2$ i $\frac{d{l}_1^2}{d{l}_2^2}=\frac{S_1}{S_2}$ sent $S_1$ i $S_2$ les superfícies característiques corresponents; per la semblança cinemàtica;$\frac{d{V}_1}{d{V}_2}=\frac{V_1}{V_2}$ i al fi, d'acort en la semblança dinàmica les forces elementals són proporcionals a atres forces similars:

$\frac{d{R}_1}{d{R}_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{Y_1}{Y_2}$

Per tant, la relació de qualsevol forces similars que obren en dos fenomens dinàmicament semblants, per eixemple forces aerodinàmiques totals, serà:

$\frac{R_1}{R_2}=\frac{{\rho }_1{V}_1^2{S}_1}{{\rho }_2{V}_2^2{S}_2}$

a on:

$\frac{R_1}{{\rho }_1{V}_1{S}_1}=\frac{R_2}{{\rho }_2{V}_2{S}_2}$

Esta última expressió és l'equació en la que les forces aerodinàmiques es troben relacionades en dos fenomens dinàmicament semblants. En esta equació poden substituir-se els valors de densitat i velocitats en qualssevol pero infaliblemente adequats punts de la corrent i qualssevol pero obligatòriament corresponents superfícies. Per a uniformitat, en la determinació de les característiques aerodinàmiques de cossos solen amprar-se els valors de densitat ${\rho }_{\mathrm{\infty }}$ i velocitat $V_{\mathrm{\infty }}$ de la corrent lliure. Com a superfície característica d'un ala i d'un avió en tot el seu conjunt es pren una superfície d'ala en pla, ya que $\frac{\rho V}{2}=q$ l'expressió pot posar-se en la forma:

$\frac{R_1}{q_1\mathrm{\infty }{S}_1}=\frac{R_2}{q_2\mathrm{\infty }{S}_2}$

La relació adimensional de qualsevol força aerodinàmica a la pressió dinàmica de la corrent lliure i superfície característica, es diu coeficient d'esta força:

$C_R=\frac{R}{q_{\mathrm{\infty }}S}$ (Coeficient de força aerodinàmica total)

$C_x=\frac{Q}{q_{\mathrm{\infty }}S}$ (Coeficient de resistència a l'alvanç)

$C_y=\frac{Y}{q_{\mathrm{\infty }}S}$ (Coeficient de força de sustentació)

Com es deduïx de les equacions anteriors, en els fenomens dinàmicament semblants els coeficients aerodinàmics similars són iguals, lo que vol dir que poden determinar-se, no en condicions naturals, sino en models dinàmicament semblants. Si es coneix el coeficient $C_R$ (per eixemple) la força mateixa es calcula per la fòrmula:

$R=C_R{q}_{\mathrm{\infty }}S$

La qual es diu fòrmula general de la força aerodinàmica. D'acort en l'equació anterior qualsevol força aerodinàmica pot representar-se com un producte del coeficient adimensional de dita força per la pressió dinàmica de la corrent lliure i superfície característica. Paralel a la força aerodinàmica es deuen considerar els moments d'estes respecte als diversos eixos. Per a passar, en l'equació anterior, de les forces als moments, anem a multiplicar el primer membre de dita equació per la relació $\frac{L_1}{b_1}$, el segon membre per la relació $\frac{L_1}{b_1}$ sent $L_1\text{,}{L}_2$ i $b_1\text{,}{b}_2$ respectivament, els braços de forces respecte a un eix elegit i les dimensions llineals característiques en els fenomens semblants en un ala, per la similitut dels fenomens $\frac{L_1}{b_1}=\frac{L_2}{b_2}$; tindrem $\frac{R_1{L}_1}{q_1\mathrm{\infty }{S}_1{b}_1}=\frac{R_2{L}_2}{q_2\mathrm{\infty }{S}_2{b}_2}$. ya que $M{z}_1=R_1{L}_1$ i $M{z}_2=R_2{L}_2$ són moments de forces respecte a l'eix donat, pot escriure's:

$\frac{M{z}_1}{q_1\mathrm{\infty }{S}_1{B}_1}=\frac{M{z}_2}{q_2\mathrm{\infty }{S}_2{B}_2}$

La relació adimensional del moment aerodinàmic $M_z$ a la pressió dinàmica de la corrent lliure, superfície característica i dimensió llineal característica es diu coeficient $m_z$ del moment:

Paràmetros que s'ampren per a la deducció de la fòrmula del moment aerodinàmic.

$m_z=\frac{M_z}{q_{\mathrm{\infty }}Sb}$

Es deduïx que en els fenomens dinàmicament semblants els coeficients dels moments similars són iguals, s'escriu en la forma:

$M_z=m_z{q}_{\mathrm{\infty }}Sb$

En les qüestions abans expostes s'ha demostrat que si els fenomens són dinàmicament semblants els coeficients aerodinàmics similars són iguals. Per a convéncer-nos de la similitut dels fenomens, durant la simulació farem les següents observacions: Supongam que en dos fenomens dinàmicament semblants actuen solament les forces de roçament viscós. Per a les superfícies elementals $d{S}_1$ i $d{S}_2$, les mateixes forces poden expressar-se com:

$d{F}_1={\mu }_{1}d{S}_1\frac{d{V}_1}{d{n}_1}$ $d{F}_1={\mu }_{1}d{S}_1\frac{d{V}_1}{d{n}_1}$

F=>força de roçament

$\mu$=>Coeficient dinàmic de viscosidad

V=>Velocitat del fluix

S=>Àrea de la superfície

ya que en els fenomens dinàmicament semblants les forces són proporcionals als productes $\rho V^{2}S$ per lo que podem escriure:

$\frac{{\mu }_{1}d{S}_1\frac{d{V}_1}{d{n}_1}}{{\mu }_{2}d{S}_2\frac{d{V}_2}{d{n}_2}}=\frac{{\rho }_1{V}_1^2{S}_1}{{\rho }_2{V}_2^2{S}_2}$

Tornant a la deducció de l'equació anterior no és difícil establir que el segon membre de la proporció escrita és la relació dels productes $dm\frac{dV}{dt}$ els quals d'acort en el principi de D’ Alembert poden cridar-se “Forces d'Inèrcia“ que s'oponen a la variació de velocitat de les partícules d'aire elementals en dos fenomens dinàmicament semblants.
Passant de la proporció derivada:

$\frac{\rho V_1^2{S}_1}{{\mu }_1\frac{d{V}_1}{d{n}_1}dS}=\frac{\rho V_2^2{S}_2}{{\mu }_2\frac{d{V}_2}{d{n}_2}dS}$

Veem que en dos fenomens semblants per força de roçament viscós les relacions de les forces d'inèrcia a les de roçament han de ser iguals. En fer les reduccions tenint en conte les relacions per l'existència de la similitut geomètrica i cinemàtica $(\frac{S1}{d{S}_1}=\frac{S_2}{d{S}_2}\text{;}\frac{V_1}{d{V}_1}=\frac{V_2}{d{V}_2})$ i substituint els traços elementals de les normals a les llínees de corrent $d{n}_1$ i $d{n}_2$ per les dimensions llineals característiques proporcionals als mateixos $l_1$ i $l_2$ i obtenim:

$\frac{{\rho }_1{V}_1{l}_1}{{\mu }_1}=\frac{{\rho }_2{V}_2{l}_2}{{\mu }_2}$

La relació adimensional de la força d'inèrcia a les de roçament viscós:

$Re=\frac{\rho Vl}{\mu }=\frac{Vl}{v}$

Segons l'equació anterior, en els fenomens semblants per forces de roçament els números de Reynolds són iguals. Repetint les operacions en la successió inversa és possible convéncer-se de que l'igualtat dels números de Reynolds ($R{e}_1=R{e}_2$) és no solament la condició necessària sino suficient per a la similitut de fenomens aerodinàmics per força de roçament. En atres paraules, el número de Reynolds és el criteri de similitut dels fenomens aerodinàmics per força de roçament. Quant menor siga el número de Reynolds, tant majors seran les forces de roçament que obliguen a la partícula a variar la seua velocitat, comparades, en les forces d'inèrcia que impedixen variar la velocitat.
En els números de Reynolds menuts, les forces de roçament predominen sobre les d'inèrcia i eixercixen influència apreciable en el quadro del fluix. En els números de Reynolds majors (adequat a les velocitats de vol), la viscosidad de l'aire es manifesta en proximitat immediata a la superfície del cos. El coeficient de resistència de roçament del cos $C_{x}r=\frac{Qr}{q_{\mathrm{\infty }}S}$ disminuïx en aumentar el número de Reynolds.

Per número de Mach

Suponent que en dos fenomens dinàmicament semblants obren solament les forces de pressió. ya que la força elemental de pressió $dP=\rho dS$, llavors podem dir:

$\frac{p_{1}d{S}_1}{p_{2}d{S}_2}=\frac{{\rho }_1{V}_1^2{S}_1}{{\rho }_2{V}_2^2{S}_2}$

Dividint els paràmetros referents al fenomen i al seu model i tenint en conte que en raó de la semblança geomètrica $\frac{d{S}_1}{d{S}_2}=\frac{S_1}{S_2}$, obtenim:

$\frac{{\rho }_1{V}_1^2}{p_1}=\frac{{\rho }_2{V}_2^2}{p_2}$

La proporció $\frac{\rho }{p}$ pot determinar-se amprant la fòrmula de la velocitat del sò $a^2=KRT=K\frac{p}{\rho }\text{;}\frac{p}{\rho }=\frac{K}{a^2}$. Llavors l'igualtat obtinguda que expressa la condició de similitut del fenomen per força de pressió, pren la forma:

$\frac{K{V}_1^2}{a_1^2}=\frac{K{V}_2^2}{a_2^2}$ és dir $M_1=M_2$

De tal modo, en els fenomens semblants per força de pressió els números de Mach han de ser iguals. En atres paraules el número de Mach és el criteri de similitut de fenomens aerodinàmics per força de pressió.