Teorema de l'número poligonal de Fermat

La teorema de l'número poligonal de Fermat diu que cada número natural és suma de lo màxim n número poligonal. Cada número natural pot ser escrit com la suma de tres o menys números triangulars, o quatre o menys números quadrats, o cinc o menys números pentagonals, i aixina successivament. 17, per eixemple, pot ser escrit com seguix:

17 = 10 + 6 + 1 (números triangulars)

17 = 16 + 1 (números quadrats)

17 = 12 + 5 (números pentagonals).

Un cas especial de la teorema ben coneguda és el teorema dels quatre quadrats de Lagrange, que assegura que cada número natural pot ser expressat com la suma de quatre quadrats, per eixemple, 7 = 4 + 1 + 1 + 1.

Joseph Louis Lagrange va demostrar el cas quadrat en 1770 i Carl Friedrich Gauss va demostrar el cas triangular en 1796, pero la teorema no va ser resolt de forma general fins que al final va ser demostrat per Cauchy en 1813. Una demostració de Nathanson (vore referències) està basada en el següent lema donat per Cauchy:

Per a número natural impars $a$ i $b$ tals que $b^2<4a$ i $3a<b^2+2b+4$ es poden trobar número entero no negatius $s,t,u$ i $v$ tals que $a=s^2+t^2+u^2+v^2$ i $b=s+t+u+v.$

Vore també

• Teorema dels quatre quadrats
• Problema de Waring

Referències

• Fermat's Polygonal Number Theorem en MathWorld.
• Nathanson, M. B. "A Short Proof of Cauchy's Polygonal Number Theorem." Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 99, No. 1, 22-24, (Jan. 1987).
• Has proofs of Lagrange's theorem and the polygonal number theorem.