Teorema de Mills

En matemàtiques, la teorema de Mills afirma que:

Existix una constant $\theta$ tal que $\lfloor {\theta }^{3^n}\rfloor$ és un número primo para tots els número natural $n\ge 1$.

a on $\theta$ indica una constant matemàtica cridada constant de Mills i $\lfloor {\theta }^{3^n}\rfloor$ indica la funció partix sancera de ${\theta }^{3^n}$. La teorema va ser demostrada en 1947 per Mills , qui, no obstant, no va determinar el valor de $\theta$, ni va propondre cap aproximació. Successivament el valor de la constant va ser calculat de forma cada volta més precisa. A dia de hui, es desconeix el seu valor exacte, pero, si és certa l'hipòtesis de Riemann, la constant val aproximadament

$\theta \approx 1,\mathrm{30637788386308069046...}$ A051021.

Número primo de Mills

Els número primo generats per la constant de Mills es coneixen com a número primo de Mills. De nou, si és certa l'hipòtesis de Riemann, la successió de número primo de Mills comença aixina:

2, 11, 1361, 2521008887... A051254.

Si θ(i) denota el i-ésimo terme d'esta successió, llavors θ(i) pot calcular-se com el menor número primo major que θ(i −1)³. Per a poder assegurar que es produïx esta successió de número primo en truncar θ³ⁿ a la seua part sancera, per a n = 1, 2, 3, ..., deu verificar-se que θ(i) < (θ(i −1) + 1)³. Els resultats de Hoheisel-Ingham garantisen que existix un número primo entre dos números cúbics suficientment grans, i açò basta per a provar la desigualtat si es partix d'un primer número primo θ(1) suficientment gran. L'hipòtesis de Riemann implica que existix un número primo entre dos gavetes consecutives i permet, aixina, ignorar la condició de que els números cúbics siguen "suficientment grans" i fer que el primer terme de la successió siga θ(1) = 2.

El major número primo de Mills que es coneix (a partir de l'hipòtesis de Riemann) és

$(((((((((2^3+3{)}^3+30{)}^3+6{)}^3+80{)}^3+12{)}^3+450{)}^3+894{)}^3+3636{)}^3+70756{)}^3+97220,$

que té 20.562 sifres.

Càlcul numèric

En calcular la successió de número primo de Mills, es pot aproximar la constant de Mills a:

$A\approx a(n{)}^{1/3^n}.$

Caldwell i Cheng varen utilisar este método per a obtindre casi 7000 sifres decimals de la constant de Mills suponent certa l'hipòtesis de Riemann. No es coneix cap fòrmula tancada per a calcular la constant, i ni tan sols se sap si és un número racional.

Vore també

• Número primo