Teorema de Huygens

La teorema de Huygens establix que la llongitut reduïda d'un péndola física no varia quan el centre d'oscilació O′ passa a ser centre de suspensió (O), puix abdós punts permuten entre sí els seus papers (punts conjugats). El periodo de la péndola serà el mateix en abdós casos.

Explicació

Figura 1. Péndola física..

En lo que concernix al periodo de les oscilacions d'un péndola física, la massa de la péndola pot imaginar-se concentrada en un punt (O′) la distància del qual a l'eix de suspensió és λ. Tal punt rep el nom de centre d'oscilació i la distància λ es denomina llongitut reduïda de la péndola, venint donada per

Si ara fem passar l'eix de suspensió pel punt O′, de modo que siga paralel a l'anterior eix de suspensió, el punt O′ passa a ser el punt de suspensió, mentres que el punt O passa a ser el centre d'oscilació. Abdós punts han permutat entre sí els seus papers; per això es diu que són punts conjugats. Lo mateix podem dir per als punts Q i Q′.

Esta propietat s'aprofita per a la construcció del cridat péndola reversible de Kater, instrument que permet medir el valor de l'acceleració gravitatoria en gran precisió.

Demostració de la teorema

És convenient substituir en l'expressió [1] el valor del moment d'inèrcia I_O de la péndola respecte a l'eix de suspensió ZZ′ pel moment d'inèrcia I_G del cos respecte a un eix paralel a l'anterior que passa pel centre de gravetat G de la péndola. Aixina, servint-nos del teorema de Steiner, i cridant K al ràdio de gir del cos respecte a este últim eix, podem escriure

Combinant les expressions [1] i [2], la llongitut reduïda de la péndola, respecte a l'eix de suspensió, pot expressar-se en la forma

Ara, fem passar l'eix de suspensió per un atre punt, situat sobre la recta OG i que es trobe a una distancia h′ del c.d.g., G, de modo que el periodo de les oscilacions siga el mateix que abans; açò equival a dir que la llongitut reduïda de la péndola, respecte a este nou eix de suspensió, és la mateixa que anteriorment (λ=λ′). Podem escriure

a on hem fet us de la següent propietat de les proporcions $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a\pm c}{b\pm d}$ i, per lo tant,

equació que té dos solucions:

1. Pot ser h = h′; i.i., es tracta del punt Q, situat a l'atre costat del c.d.g. i a la mateixa distància d'este que el punt O.
2. En el cas de que siga h ≠ h′, dividint per (h-h′) abdós membres de l'igualtat [5] i tenint en conte [3], nos quedarà:

corresponent la distancia h′ a la posició del punt O′, conjugat de l'O, que es troba situat a l'atre costat del c.d.g. i de modo que la suma de distàncies al mateix (h+h′) és la llongitut reduïda (λ) de la péndola.

Vore també

• Péndola composta
• Centre de percussió
• Péndola de Kater

Referències

Enllaces externs

• Física Universitària. (en espanyol) Abundant informació per al nivell de la Física Universitària. Inclou texts i animacions.
• Curs Interactiu de Física en Internet. Ángel Franco García.