Superfície de Scherk

Animació de la primera i segona superfície de Scherk transformant-se entre sí: són membres de la mateixa família associada de superfícies mínimes

En matemàtiques, una superfície de Scherk, nom en honor al matemàtic alemà Heinrich Scherk, és un eixemple de superfície mínima. Scherk va descriure dos superfícies mínimes embebidas completes en 1834. La primera és una superfície doblement periòdica, i la segona és individualment periòdica. Varen ser el tercer eixemple no trivial de superfície minimal, sent els dos primers varen ser el catenoide i el helicoide. Les dos superfícies són conjugades entre sí.

Les superfícies de Scherk sorgixen en l'estudi de certs problemes de superfícies mínimes limitantes i en l'estudi de difeomorfismos harmònics del espai hiperbòlic.

La primera superfície de Scherk

La primera superfície de Scherk és asintòtica a dos famílies infinites de plans paralels, ortogonals entre sí, que es troben prop de z=0 en un patró de tauler d'escacs d'arcs pont. Conté un número infinit de llínees verticals rectes.

Construcció d'una superfície Scherk simple

Archiu:Scherk-1 surface unit cell.stl

Cinc celes unitàries colocades juntes

Considere's el següent problema de superfície mínima en un quadrat en el pla euclídeo: per a un número natural n donat, trobar una superfície mínima Σ_n com a gràfica d'alguna funció

$u_n:(-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2})\times (-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2})\to ℝ$

tal que

$\underset{y\to \pm \pi /2}{\lim }{u}_n(x,y)=+n\text{ si }-\frac{\pi }{2}<x<+\frac{\pi }{2},$

$\underset{x\to \pm \pi /2}{\lim }{u}_n(x,y)=-n\text{ si }-\frac{\pi }{2}<y<+\frac{\pi }{2}.$

És dir, o_n satisfà la condició de superfície mínima

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\frac{\mathrm{\nabla }{u}_n(x,y)}{\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }{u}_n(x,y){|}^2}}\right)\equiv 0$

i

${\Sigma }_n=\{(x,y,u_n(x,y))\in {ℝ}^3|-\frac{\pi }{2}<x,y<+\frac{\pi }{2}\}.$

¿Quin és, en tot cas, la superfície llímit quan n tendix a infinit? La resposta la va donar H. Scherk en 1834: la superfície llímit Σ és la gràfica de

$u:(-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2})\times (-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2})\to ℝ,$

$u(x,y)=\log \left(\frac{\cos (x)}{\cos (y)}\right).$

És dir, la superfície de Scherk sobre el quadrat és

$\Sigma =\{(x,y,\log \left(\frac{\cos (x)}{\cos (y)}\right))\in {ℝ}^3|-\frac{\pi }{2}<x,y<+\frac{\pi }{2}\}.$

Superfícies de Scherk més generals

Es poden considerar problemes de superfície mínima similars en uns atres quadrilàters en el pla euclídeo. També es pot considerar el mateix problema en quadrilàters en el pla hiperbòlic. En 2006, Harold Rosenberg i Pascal Collin varen utilisar superfícies hiperbòliques de Scherk per a construir un difeomorfismo harmònic des del pla complex al pla hiperbòlic (el disc unitari en la mètrica hiperbòlica), refutando aixina la conjectura de Schoen-Yau.

Segona superfície de Scherk

Segona superfície de Scherk

Archiu:Scherk-2 surface unit cell.stl

La segona superfície de Scherk s'assembla globalment a dos plans ortogonals l'intersecció dels quals consistix en una seqüència de túnels en direccions alternes. Les seues interseccions en plans horisontals consistixen en hipérboles alternes.

Té equació implícita:

$\sin (z)-\sinh (x)\sinh (y)=0$

i el seu parametrización de Weierstrass-Enneper té la forma $f(z)=\frac{4}{1-z^4}$, $g(z)=iz$; i es pot parametrizar com:

$x(r,\theta )=2\mathrm{\Re }(\ln (1+r{e}^{i\theta })-\ln (1-r{e}^{i\theta }))=\ln \left(\frac{1+r^2+2r\cos \theta }{1+r^2-2r\cos \theta }\right)$

$y(r,\theta )=\mathrm{\Re }(4i{\tan }^{-1}(r{e}^{i\theta }))=\ln \left(\frac{1+r^2-2r\sin \theta }{1+r^2+2r\sin \theta }\right)$

$z(r,\theta )=\mathrm{\Re }(2i(-\ln (1-r^2{e}^{2i\theta })+\ln (1+r^2{e}^{2i\theta }))=2{\tan }^{-1}\left(\frac{2r^2\sin 2\theta }{r^4-1}\right)$

per a $\theta \in [0,2\pi )$ i $r\in (0,1)$. Açò dona un periodo de la superfície, que després pot estendre's en la direcció z per simetria.

H. Karcher ha generalisat la superfície en la família de la torre de cadires de montar de superfícies mínimes periòdiques.

De manera alguna cosa imprecisa, esta superfície es denomina ocasionalment la quinta superfície de Scherk en la bibliografia. Per a minimisar la confusió, és útil referir-se a ella com a superfície periòdica única de Scherk o torre de Scherk.