Successió de Farey

Erro al crear miniatura:

Diagrama de Farey per a F₈.

Erro al crear miniatura:

Diagrama de Farey per a F₈.

Erro al crear miniatura:

Patró simètric fet pels denominadors de la série de Farey, F₈.

Erro al crear miniatura:

Patró simètric fet pels denominadors de la série de Farey, F₂₅.

Una successió de farey és una successió matemàtica de fraccions irreductibles entre 0 i 1 que tenen un denominador menor o igual a ¨¨n'¨¨ en orde creixent.

Cada successió de Farey comença en el 0, denotat per la fracció: $\frac{0}{1}$, i termina en l'1, denotat per la fracció: $\frac{1}{1}$, encara que alguns autors solen ometre abdós térmens.

Construcció

Una senzilla manera algorítmica de construir la successió de Farey per a un número n (per eixemple, el 4):

• Es construïxen unes fraccions en totes les combinacions possibles dels números de l'1 al 4:

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{1},\frac{2}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{1},\frac{3}{2},\frac{3}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{1},\frac{4}{2},\frac{4}{3},\frac{4}{4}.$

• S'eliminen aquelles fraccions superiors a 1 (o dit d'una atra manera, en les que el numerador siga major que el denominador):

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{4}.$

• Se simplifiquen totes les fraccions, descartant les repetides:

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{4}.$

• S'ordena el resultat de menor a major, agregant el 0 (⁰⁄₁) al principi:

$\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}.$

Eixemple

La successió de Farey per a n entre 1 i 8 és la següent:

$F_1=\{\frac{0}{1},\frac{1}{1}\}$

$F_2=\{\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1}\}$

$F_3=\{\frac{0}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{1}\}$

$F_4=\{\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}\}$

$F_5=\{\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}\}$

$F_6=\{\frac{0}{1},\frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{1}{1}\}$

$F_7=\{\frac{0}{1},\frac{1}{7},\frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{7},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{3}{7},\frac{1}{2},\frac{4}{7},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{5}{7},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{6}{7},\frac{1}{1}\}$

$F_8=\{\frac{0}{1},\frac{1}{8},\frac{1}{7},\frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{7},\frac{1}{3},\frac{3}{8},\frac{2}{5},\frac{3}{7},\frac{1}{2},\frac{4}{7},\frac{3}{5},\frac{5}{8},\frac{2}{3},\frac{5}{7},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{6}{7},\frac{7}{8},\frac{1}{1}\}$

Història

«L'història de la 'successió de Farey' és molt curiosa.» (Hardy & Wright, "An Introduction to the Theory of Numbers", Capítul III)

«...una volta més, l'home que va donar nom a la relació matemàtica no va ser el descobridor original segons ha quedat registrat.» (Beiler, "Recreations in the Theory of Numbers", Capítul XVI)

Les successions de Farey reben el nom del geòlec britànic John Farey, quí va publicar una carta sobre elles en un número de la revista Philosophical Magazine en 1816. En ella Farey conjeturó que cada terme de la successió és el cocient de la suma dels numeradors i la suma dels denominadors dels seus térmens veïns — encara que, per lo que se sap, no va aplegar a provar esta propietat. La carta de Farey va ser llegida pel famós matemàtic Cauchy qui sí va provar l'afirmació de Farey en el seu llibre Exercises de mathématique prova junt a la que s'atribuïx el resultat a Farey. Pero de fet, va anar un atre matemàtic, un tal C.Haros, el que primer va publicar un resultat semblant en l'any 1812, encara que és pràcticament cert que ni Farey ni Cauchy coneixien tal fet. Aixina és que, una volta més, un accident històric va lligar el nom de Farey en este tipo de successions en lloc del nom del seu descobridor original.

Propietats

Erro al crear miniatura:

Llongitut de la successió

La successió de Farey d'orde n conté tots els membres de les successions de Farey d'un orde menor. En particular F_n conté tots els membres de F_n−1 aixina com una fracció adicional de cada número que és menor que n i coprimo en n. Per eixemple, F₆ conté a F₅ junt en les fraccions ¹⁄₆ i ⁵⁄₆. El terme mig d'una successió de Farey és sempre ¹⁄₂ per a tot _n > 1.

D'este fet es pot extraure una relació entre F_n i F_n−1 utilisant la funció φ(n) de Euler:

$|F_n|=|F_{n-1}|+\phi (n)$

I ya que |F₁| = 2, es pot derivar una expressió de la llongitut de F_n com:

$|F_n|=1+\sum _{m=1}^n\phi (m)$

Per una atra part, el comportament asintòtic de |F_n| és:

$|F_n|\sim \frac{3n^2}{{\pi }^2}$

Veïns de Farey

Les fraccions que antedecen i seguixen a cada terme de la successió (veïns de Farey) tenen les següents propietats:

Si ^a⁄_b i ^c⁄_d són veïns en la successió de Farey en ^a⁄_b < ^c⁄_d, llavors la seua diferència ^c⁄_d − ^a⁄_b és igual a ¹⁄_bd. I lloc que

$\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{bc-ad}{bd}$

açò és equivalent a afirmar que:

$bc-ad=1$

Per eixemple, ¹⁄₃ i ²⁄₅ són veïns de F₅, i la seua diferència és ¹⁄₁₅.

L'afirmació inversa també és certa. Si

$bc-ad=1$

per als sancers positius a,b,c and d en a < b i c < d llavors ^a⁄_b i ^c⁄_d seran veïns en una successió de Farey d'orde max(b, d).

Si ^p⁄_q té com a veïns a ^a⁄_b i ^c⁄_d en alguna successió de Farey, en:

$\frac{a}{b}<\frac{p}{q}<\frac{c}{d}$

llavors ^p⁄_q és el cocient de la suma dels denominadors i els numeradors de ^a⁄_b i ^c⁄_d — en atres paraules,

$\frac{p}{q}=\frac{a+c}{b+d}$

I, si ^a⁄_b i ^c⁄_d són veïns en una successió de Farey, llavors el primer terme que apareix entre ells quan l'orde de la successió de Farey s'incrementa és

$\frac{a+c}{b+d}$

que apareix primer en la sucesiónd de Farey d'orde b+d.

Per eixemple, el primer terme que apareix entre ¹⁄₃ i ²⁄₅ és ³⁄₈, que apareix en F₈.

El arbre de Stern-Brocot és una estructura de senyes que mostra cóm es construïx la successió des del terme primer (= ⁰⁄₁) i segon (= ¹⁄₁), prenent els successius cocients de sumes de numeradors i denominadors.

Les fraccions que apareixen com a veïnes en una successió de Farey tenen expansions en [fracció contínua|fraccions contínues] relacionades. Cada fracció té dos expanciones en fraccions contínues - en una d'elles l'últim terme és 1; en l'atra l'últim terme és major que 1. Si, que apareix per primera volta en una successió de Farey F_q, té expansions en fraccions contínues com

$[0,a_1,a_2,\mathrm{...},a_{n-1},a_n,1]$

$[0,a_1,a_2,\mathrm{...},a_{n-1},a_n+1]$

llavors, el veí més propenc de ^p⁄_q en F_q (que serà el seu veí en major denominador) té una expansió en fraccions contínues com

$[0,a_1,a_2,\mathrm{...},a_n]$

i el seu atre veí té una expansió en fraccions contínues com

$[0,a_1,a_2,\mathrm{...},a_{n-1}]$

Per eixemple, ³⁄₈ té dos expansions en fraccions contínues [0,2,1,1,1] i [0,2,1,2], i els seus veïns en F₈ són ²⁄₅, que pot expandir-se com [0,2,1,1], i ¹⁄₃, que pot expandir-se com [0,2,1].

Círculs de Ford

Erro al crear miniatura:

Círculs de Ford

Existix una conexió interessant entre les successions de Farey i els círculs de Ford.

Per a cada fracció irreducible p/q existix un círcul de Ford C[p/q], que és el círcul de radi 1/2q² i centre en (p/q,1/2q²). Dos círculs de Ford poden ser ben disjuntos ben tangentes entre sí - dos círculs de Ford mai es intersecan. Si 0<p/q<1 llavors els círculs de Ford que són tangentes a C[p/q] són precisament els círculs de Ford de les fraccions que són veïnes de p/q en alguna successió de Farey.

Per eixemple, C[2/5] és tangente a C[1/2], C[1/3], C[3/7], C[3/8] etc.

Hipòtesis de Riemann

Les seqüències de Farey s'utilisen en dos fòrmules equivalents a l'Hipòtesis de Riemann. Supongam que els térmens de $F_n$ són $\{a_{k,n}:k=0,1,\dots ,m_n\}$. Definim $d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_n$, en una atra paraules $d_{k,n}$ és la diferència entre k (que és el conjunt de punts que estan distribuïts en l'interval unitat) i n (que és el número de térmens de la seqüència de Farey). En 1924 Jérôme Franel va demostrar que:

$\sum _{k=1}^{m_n}{d}_{k,n}^2=O(n^r)\mathrm{\forall }r>-1$

és equivalent a l'hipòtesis de Riemann, i després Edmund Landau va observar (just despuix de Franel) que la declaració:

$\sum _{k=1}^{m_n}|d_{k,n}|=O(n^r)\mathrm{\forall }r>1/2$

també és equivalent a l'hipòtesis de Riemann.

Referències

• Beiler, Albert H. (1964) Recreations in the Theory of Numbers (Second Edition). Dover. ISBN 0-486-21096-0
• Hardy, & Wright, (1979) An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth Edition). Oxford University Press. ISBN 0-19-853171-0