Séries de Lidstone

En matemàtiques, una série de Lidstone, nomenada en honor a George James Lidstone, és una expansió polinòmica que expressa cert tipo de funcions sanceres.

Siga ƒ(z) ser una funció sancera de tipo exponencial menor a (N + 1)π, definida més avall. Llavors ƒ(z) pot ser expandit en térmens de polinomis A_n de la següent forma:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[A_n(1-z)f^{(2n)}(0)+A_n(z)f^{(2n)}(1)]+\sum _{k=1}^N{C}_k\sin (k\pi z).$

Una funció és del tipo exponencial menor a t si la funció

$h(\theta ;f)=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{1}{r}\log |f(r{e}^{i\theta })|$

és acotada damunt per t. Aixina, la constant N utilisada en la suma de més dalt està donada per

$t=\underset{\theta \in [0,2\pi )}{\sup }h(\theta ;f)$

en

$N\pi \le t<(N+1)\pi .$

Referències

• Ralph P. Boes, Jr. and C. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions, (1964) Academic Press, NY. Library of Congress Catalog 63-23263. Issued as volume 19 of Moderne Funktionentheorie ed. L.V. Ahlfors, séries Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer-Verlag ISBN 3-540-03123-5