Quatre cuatros

El problema dels quatre cuatros és un dels problemes enunciats en el llibre L'home que calculava (de Malba Tahan).

L'orige del problema es dona en una conversació entre Beremiz (L'home que calculava) i el seu acompanyant, al vore una tenda en la que tot es venia a quatre dinares. D'ahí que Beremiz recorde que és una interessant coincidència que li fa recordar un "bell problema".

El problema consistix, segons l'enunciat, en trobar la forma matemàtica per a representar qualsevol número, usant per a això solament quatre cuatros (quatre números quatre), i com a molt, alguns símbols no lliterals per a les operacions bàsiques. Beremiz dona alguns eixemples per a alguns dels números més coneguts, com el zero i els números del u al dèu.

Problemes similars poden plantejar-se en tres treses, etcétera. No obstant, és molt fàcil representar en quatre cuatros molts números de gran importància per a les civilisacions actuals.

És comú plantejar este problema en dos fases, primer resoldre els números d'un al dèu, i despuix de l'un al cent. Tots els primers cent números tenen resposta.

També existix la variació de fer-ho en els números un, dos, tres i quatre, a on cada número deu utilisar-se una i solament una volta.

Eixemples de representacions usant quatre cuatros

A continuació, es presenten alguns eixemples per a varis números.

0	$\frac{4}{4}-\frac{4}{4}$ $44-44$ $(4\times 4)-(4\times 4)$ $4-4+4-4$ $4^{\frac{4}{4}}-4$
1	$\frac{4}{4}\times \frac{4}{4}$ $\frac{44}{44}$ $\frac{(4\times 4)}{(4\times 4)}$
2	$\frac{4}{4}+\frac{4}{4}$ $\frac{4+\sqrt{4}-\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ $\frac{4\times 4}{4+4}$
3	$\frac{4\times 4-4}{4}$ $\frac{4+4+4}{4}$ $\sqrt{4}+\sqrt{4}-\frac{4}{4}$
4	$((4-4)\times 4)+4$ $\frac{(4+4)\times \sqrt{4}}{4}$
5	$\frac{(4\times 4)+4}{4}$ $\sqrt{4}+\sqrt{4}+\frac{4}{4}$ $4^{4-4}+4$
6	$\frac{4!\times \frac{4}{4}}{4}$ $4+(\frac{4+4}{4})$
7	$\frac{4!}{4+4}+4$ $\frac{44}{4}-4$ $4+4-\frac{4}{4}$
8	$4+4\times \frac{4}{4}$ $4+4+4-4$ $4^{\frac{4}{4}}+4$
9	$4+4+\frac{4}{4}$
10	$4+\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{4}$ $\frac{(44-4)}{4}$ $\frac{4!+(4\times 4)}{4}$
11	$\frac{44}{(\sqrt{4}+\sqrt{4})}$
12	$\sqrt{4}\times (\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{4})$ $4!-4-4-4$ $4\times 4-\sqrt{4\times 4}$
13	$\frac{4!}{\sqrt{4}}+\frac{4}{4}$
14	$4\times 4-\frac{4}{\sqrt{4}}$
15	$\frac{44}{4}+4$ $4\times 4-\frac{4}{4}$
16	$4+4+4+4$
17	$4\times 4+\frac{4}{4}$
18	$4\times 4+\frac{4}{\sqrt{4}}$
19	$4!-\frac{4}{4}-4$
20	$(4+\frac{4}{4})\times 4$
21	$4!-(4-\frac{4}{4})$
22	$4!-\sqrt{4}\times \frac{4}{4}$
23	$4!-4^{(4-4)}$ $4!-\sqrt{4}+\frac{4}{4}$
24	$4\times 4+4+4$
25	$4!+\sqrt{4}-\frac{4}{4}$
26	$4!+\frac{4+4}{4}$
27	$4!+\sqrt{4}+\frac{4}{4}$
28	$4!+\frac{4*4}{4}$ $(4+4)\cdot 4-4$
29	$4!+4+\frac{4}{4}$
30	$4!+4+\frac{4}{\sqrt{4}}$
31	$4!+\frac{4+4!}{4}$
32	$\frac{\left(4^4\right)}{4+4}$ $4!+\frac{4\times 4}{\sqrt{4}}$ $4\cdot 4+4\cdot 4$
35	$4!+\frac{44}{4}$
36	$4(4+4)+4$
60	$4\times 4\times 4-4$ $4^{\sqrt{4}}+44$
70	$\frac{(4+4)!}{4!\cdot 4!}$ $4!+4!+4!-\sqrt{4}$
82	$(4!-4)\cdot 4+\sqrt{4}$
86	$44\cdot \sqrt{4}-\sqrt{4}$
100	$(4+4+\sqrt{4}{)}^{\sqrt{4}}$
180	$44\times 4+4$
250	$4^4-4-\sqrt{4}$
256	$4\times 4\times 4\times 4$
1024	$\frac{(4+4{)}^4}{4}$
4444	$4444$

Prova per a tot número real

Si ben el problema original solament contava en les operacions de suma, resta, multiplicació, divisió, concatenació, raïls, factorials i conversió a decimals, si es permet també agregar l'operador logaritmo, llavors es pot generar una solució per a tot número pertanyent als número real.

Partint que:

$a=b^c\Rightarrow {\log }_{b}a=c$

Vol dir que:

$4=4^1\Rightarrow {\log }_{4}4=1$

$16=4^2\Rightarrow {\log }_{4}16=2$

$64=4^3\Rightarrow {\log }_{4}64=3$

I d'esta manera successivament, es té una resposta per a tots els número real utilisant ${\log }_4(x)$, ya que $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_4(x)=\mathrm{\infty }$, aixina que hi haurà una resposta per a cada número natural.

Ademés que ${\log }_4{4}^n=n$

Ara, per a utilisar els quatre cuatros, llavors es procedix en que:

$\sqrt{a}\equiv a^{\frac{1}{2}}$

Utilisant açò en la propietat anterior s'obté que:

${\log }_4\sqrt{4}=\frac{1}{2}$

$\sqrt{\sqrt{a}}\equiv a^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}$

${\log }_4\sqrt{\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$

${\log }_4\sqrt{\sqrt{\sqrt{4}}}=\frac{1}{8}$

D'esta manera, i en els operants logaritmo i raïl, s'utilisen dos dels quatre cuatros; ara, es partix de:

$a=b^c\Rightarrow {\log }_{b}a=c$

Per a trobar les respostes dels anteriors pero esta volta per a la base $\frac{1}{2}$:

${\log }_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})=1$

${\log }_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4})\equiv {\log }_{\frac{1}{2}}({\frac{1}{2}}^2)=2$

${\log }_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{8})\equiv {\log }_{\frac{1}{2}}({\frac{1}{2}}^3)=3$

Lo únic que es requerix és conseguir expressar $\frac{1}{2}$ en els dos cuatros restants;

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\equiv \frac{\left|\sqrt{4}\right|}{4}$

Llavors tot lo que es requerix és expressar:

${\log }_{\frac{\left|\sqrt{4}\right|}{4}}\left[{\log }_4\sqrt{4}\right]=n$

A on n és el número d'operant raïls que deuen ser colocades

En n=1;

${\log }_{\frac{\left|\sqrt{4}\right|}{4}}\left[{\log }_4\sqrt{4}\right]=1$

En n=2;

${\log }_{\frac{\left|\sqrt{4}\right|}{4}}\left[{\log }_4\sqrt{\sqrt{4}}\right]=2$

En n=3;

${\log }_{\frac{\left|\sqrt{4}\right|}{4}}\left[{\log }_4\sqrt{\sqrt{\sqrt{4}}}\right]=3$

En n=4;

${\log }_{\frac{\left|\sqrt{4}\right|}{4}}\left[{\log }_4\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{4}}}}\right]=4$

Recordem que una raïl n d'un número m, és igual a m elevat a la (1/n), per això en utilisar la raïl quadrada de 4 deixaríem d'usar solament quatre cuatros, ya que també estaríem amprant els números 1 i n respectivament per a la potència. En conclusió, esta demostració per construcció queda totalment invalidada perque no complix en la premissa de partida del problema. Finalment, podem deduir que F lau. No oblidar que en assumir la transitividad per la Conjectura de Cliff, es prenen solament els número impar.