Procés Δ² de Aitken

Archiu:Aitken graph explanation.svg

Procés Δ² de Aitken

En anàlisis numèric, el método o procés Δ² de Aitken és un método d'acceleració de la convergència. Du el nom d'Alexander Aitken, qui va introduir este método en 1926. La seua forma primitiva era coneguda per Kōwa Seki (finals de el XVII) i va ser trobat en la rectificació del círcul, és dir, el càlcul de $\pi$. És molt útil per a accelerar la convergència d'una successió que convergix linealment.

Quan s'aplica el método de Aitken a una successió obtinguda per mig d'una iteración de punt fix es coneix com método de Steffensen.

Definició

Donada una successió $x={(x_n)}_{n\in \mathbb{N}}$, es calcula la nova successió $\hat{x}={({\hat{x}}_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ definida com

${\hat{x}}_{n+2}=x_{n+2}-\frac{(x_{n+2}-x_{n+1}{)}^2}{x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n}$.

Si s'ampra l'operador Δ de les diferències progressives definit com

$\Delta x_n=x_{n+1}-x_n.$

${\Delta }^2{x}_n=\Delta (\Delta x_n)=x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n$

també pot escriure's com:

${\hat{x}}_{n+2}=x_{n+2}-\frac{(\Delta x_{n+1}{)}^2}{{\Delta }^2{x}_n}$

Propietats

El procés Δ² de Aitken és un método d'acceleració de la convergència, i en particular un cas de transformació no llineal d'una successió.

$x$ convergix linealmente a $\ell$ si existix un número μ ∈ (0, 1) tal que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{|x_{n+1}-\ell |}{|x_n-\ell |}=\mu .$

El método de Aitken accelerarà la successió $x_n$ si i solament si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\hat{x}}_n-\ell }{x_n-\ell }=0.$

Encara que la nova successió no convergix en general de forma quadràtica, es pot demostrar que per a un método de punt fix, és dir, per a una successió $x_{n+1}=f(x_n)$ per a alguna funció iterada $f$, convergint cap a un punt fix, la convergència és quadràtica. En este cas, la tècnica es coneix com método de Steffensen.