Problema de Waring-Goldbach

El problema de Waring-Goldbach és una qüestió plantejada en el camp de la teoria de números aditiva, que tracta sobre la representació dels número entero com sumixques de potències de número primo. El seu nom prové de la combinació del problema de Waring sobre sumes de potències de sancers i de la conjectura de Goldbach sobre sumes de cosins. Va ser plantejat per Hua Luogeng en 1938.

Enunciat del problema

Es pregunta si els números grans poden expressar-se com una suma, en com a màxim un número constant de térmens, de potències iguals d'número primo. És dir, per a qualsevol número natural donat, k, ¿és cert que per a un sancer N suficientment gran necessàriament existix un conjunt de cosins, p₁, p₂, ..., p_t, tals que N = p₁^k + p₂^k + ... + p_t^k, a on t és com a màxim un valor constant?

El cas k= 1 és una versió més dèbil de la conjectura de Goldbach. S'han conseguit alguns alvanços en els casos k= 2 a 7.

Justificació heurística

Segons el teorema dels número primo, el número de potències d'orde k d'un número primo menor que x és de l'orde x^1/k/log x.

A partir d'açò, el número d'expressions de t térmens en sumes =x és aproximadament x^t/k/(log x)^t.

És raonable supondre que per a algun número t suficientment gran, açò és x-c, és dir, tots els números fins a x són sumes t voltes majors de potències k d'número primo. Este argument, per supost, dista molt de ser una demostració rigorosa.

Vore també

• Problema de Waring
• Conjectura de Goldbach