Principi de reflexió

En teoria de conjunts, una branca de les matemàtiques, el principi de reflexió diu que és possible trobar conjunts que representen la classe de tots els conjunts. Existixen vàries formes diferents del principi de reflexió segons es determine en exactitut el significat de «representar». La forma dèbil del principi de reflexió ho constituïxen els axioma de Zermelo-Fraenkel, mentres que formes més fortes poden resultar en axioma nous i molt poderosos per a la teoria de conjunts.

El concepte de «principi de reflexió» prové del fet de que les propietats de l'univers de tots els conjunts es «reflectixen» en un subgrup més menut.

Motivació per al principi de reflexió

Una versió ingènua del principi diu que «per a qualsevol propietat de l'univers de conjunts podem trobar un subconjunt en la mateixa propietat», lo que du immediatament a una contradicció:

l'univers de conjunts conté a tots els conjunts, pero no existix un subconjunt en la propietat de contindre a tots els conjunts. Per a obtindre una versió útil i sense contradiccions del principi de reflexió devem ser més cuidadosos sobre el significat de propietat, i quins propietats permetem.

Per a trobar un enunciat sense contradiccions podem argumentar informalmente com seguix: supongam que tenim una colecció «A» de métodos per a formar conjunts (per eixemple, considerant superconjuntos, subconjunts, l'axioma de tongada, etc.). Podem imaginar que tenim tots els conjunts obtinguts per mig de l'aplicació repetida d'estos métodos, que englobem en una classe «V», la que pot considerar-se com a model d'alguna teoria de conjunts. Ara podem introduir els següents principis per a formar subconjunts: «la colecció de tots els subconjunts obtinguts d'un atre per mig d'aplicació repetida de tots els métodos que existixen en la colecció «A», és també un subconjunt». Si permetem este nou principi per a formar conjunts, podem superar «V», i considerar la classe «W» de tots els conjunts derivats d'operacions «A». En atres paraules, l'univers «W» conté un conjunt «V» que reflectix a «W» en quant ha segut generat per mig de tots els métodos «A».

Podem usar este argument informal en dos formes: podem tractar de formalisar-ho en les teoria de Zermelo-Fraenkel, i fent-ho, obtindrem algunes teoremes cridades teoremes de reflexió.

Alternativament podem usar-ho per a motivar l'introducció de nous axioma en la teoria de conjunts.

El principi de reflexió com a teorema de ZFC

Tractant de formalisar l'argumentació de la secció anterior per al principi de reflexió dins dels axioma de Zermelo-Fraenkel, es torna necessari agregar algunes condicions a la colecció de propietats «A» (per eixemple, «A» deu ser finita). D'esta manera es generen vàries teoremes de reflexió de ZFC fortament relacionats, tots els quals establixen que podem trobar un conjunt que serà a lo manco model de ZFC.

Una forma del principi de reflexió dins de ZFC establix que «per a qualsevol conjunt finit de axioma de ZFC podem trobar un model que implícitament satisfaça tals axioma». (en particular açò prova que ZFC no és axiomatisable en forma finita, perque si es provava l'existència d'un model de sí mateix i, per tant, que demostrara la seua pròpia consistència, tal possibilitat contravindria la segona teorema incompleta de Gödel), esta versió de teorema de reflexió està molt relacionada en el teorema de Löwenheim-Skolem.

Una atra versió del principi de reflexió diu que per a qualsevol número finit de fòrmules de ZFC podem trobar un conjunt V_α en l'univers de von Neumann tal que totes les fòrmules en el conjunt constituïxen un absolut llògic per a V_α (lo que significa molt burdamente que verifiquen en V_α si i solament si ho fan en l'univers de tots els conjunts). Aixina s'establix que el conjunt V_α reflectix l'univers de tots els conjunts, a lo manco en lo que concernix al número finit de fòrmules donades.

Per a qualsevol número natural n, pot provar-se des de ZFC un principi de reflexió que diu que donat un ordinal α, existix un ordinal β>α tal que V_β satisfà totes les instàncies de primer orde de la teoria de conjunts que són verdaderes per a V, i contenen menys que n quantificadors.

Referències

• Jech, Thomas(2002).«Set theory, third millennium edition (revised and expanded)».Springer.
• Kunen, Kenneth(1980).«Set Theory: An Introduction to Independence Proofs».North-Holland.
• Lévy, Azriel(1960).«Axiom schemata of strong infinity in axiomatic set theory».Pacific Journal of Mathematics.10: 223–238.ISSN 0030-8730.
• Montague, Richard(1961).«Essays on the foundations of mathematics».Magnes Press.Hebrew Univ., Jerusalem:: 91–114.