Principi de Arquímedes

Archiu:Principio di Archimede galleggiamento.png

Representació del principi de Arquímedes.

El principi de Arquímedes és el principi físic que afirma: «Un cos total o parcialment sumergit en un decorregut en repòs experimenta un espente vertical cap a dalt igual al pes del decorregut desestajat». Esta força rep el nom de espente hidrostàtic o d'Arquímedes, i es medix en newtons (en el SI). El principi de Arquímedes s'expressa per mig de la següent fòrmula:

$E=PeV={\rho }_{\text{f}}gV$

o be quan es desija determinar per a comparar-ho contra el pes del cos:

$𝐄=-Pe𝐕=-{\rho }_{\text{f}}𝐠V$

a on I és el espente [N], Pe és el pes específic del decorregut [N/m^3], ρ_f és la densitat del decorregut, V el «volum de decorregut desplaçat» per algun cos sumergit parcial o totalment en el mateix i g la acceleració de la gravetat. D'esta manera, l'espente depén de la densitat del decorregut, del volum del cos i de la gravetat existent en eixe lloc. L'espente (en condicions normals i descrit de modo simplificat) actua verticalment cap a dalt i està aplicat en el centre de gravetat del cos; este punt rep el nom de centre de carena.

Història

Arquímedes va créixer en un ambient a on la ciència era familiar, ya que el seu pare, Fidias, era astrònom. Arquímedes va revelar tempranamente particular disposició per als estudis. Va estudiar en Aleixandria, provablement en el Museu, el gran centre cultural patrocinat pels monarques de la dinastia ptolemaica d'Egipte. Allí va travar amistat en el famós Eratóstenes de Cirene, en qui va efectuar la medició de la circumferència terrestre. Provablement a conseqüència dels estudis realisats en Eratóstenes, més que per tradició familiar, en Arquímedes va nàixer l'afició per l'astronomia. Tornat a Siracusa, es va dedicar als seus estudis de matemàtica, física, geometria, mecànica, òptica i astronomia. En totes estes matèries va realisar investigacions que encara hui resulten difícils per a una persona de bona preparació.

La anècdota més coneguda sobre Arquímedes, matemàtic grec, conta cóm va inventar un método per a determinar el volum d'un objecte en una forma irregular. D'acort en Vitruvio, arquitecte de la antiga Roma, una nova corona en forma de corona triumfal havia segut fabricada para Hierón II, tirà governador de Siracusa, el qual li va demanar a Arquímedes determinar si la corona estava feta d'or pur o si un orfebre deshonesto li havia agregat argent. Arquímedes tenia que resoldre el problema sense danyar la corona, aixina que no podia fondre-la i convertir-la en un cos regular per a calcular el seu densitat.

Mentres prenia un bany, va notar que el nivell d'aigua pujava en la cup quan entrabar, i aixina es va donar conte de que eixe efecte podria usar-se per a determinar el volum de la corona. Degut a que la compressió de l'aigua -valor en el que no tenia familiaridad alguna, ya que el seu estudi és posterior- seria despreciable, la corona, en ser sumergida, desplaçaria una cantitat d'aigua igual al seu propi volum. En dividir la massa de la corona pel volum d'aigua desplaçada, es podria obtindre la densitat de la corona. La densitat de la corona seria menor si atres metals més barats i menys densos li hagueren segut afegits. Llavors, Arquímedes va eixir corrent nuet pels carrers, tan emocionat estava pel seu descobriment per a recordar vestir-se, cridant «¡Eureka!» (en grec antic: εὕρηκα, que significa ‘¡Ho vaig trobar!’).

Ya que l'història s'havia transmés de forma oral, durant la renaixença va ser qüestionada per l'imprecisió de medir el volum i l'espente per separat i dividir-los, i també pel fet de que la descripció anterior no utilisa per a res el Principi de Arquímedes. En 1586, Galileo, en sol 22 anys, va publicar l'artícul La Bilancetta, en el que descrivia una forma de comparar densitat en una balança sumergida i proponia que podria ser el dispositiu original del propi Arquímedes.

L'història de la corona dorada no apareix en els treballs coneguts de Arquímedes, pero en el seu tractat Sobre els cossos flotants ell dona el principi d'hidrostàtica conegut com el principi de Arquímedes. Est planteja que tot cos sumergit en un decorregut experimenta un espente vertical i cap a dalt igual al pes del volum de decorregut desestajat; és dir, daus dos cossos que se sumergixen en el sí d'un decorregut (ej:aigua), el més dens o el que tinga composts més pesats se sumergix més ràpit, és dir, tarda menys temps per a aplegar a una posició d'equilibri. Açò succeïx pel gradient de pressió que apareix en el sí del decorregut, que és directament proporcional a la profunditat d'immersió i al pes del propi decorregut.

Demostració

El principi de Arquímedes pot deduir-se matemàticament de les equacions de Euler per a un decorregut en repòs que a la seua volta poden deduir-se generalisant les lleis de Newton a un mig continu. De la mateixa manera, el principi de Arquímedes es pot deduir de les equacions de Navier-Stokes per a un decorregut:

La condició de que el decorregut incompresible que estiga en repòs implica prendre en l'equació anterior $𝐯=0$, lo que permet aplegar a la relació fonamental entre pressió del decorregut, densitat del decorregut i acceleració de la gravetat:

A partir d'eixa relació podem reescriure fàcilment les forces sobre un cos sumergit en térmens del pes del decorregut desestajat pel cos. Quan se sumergix un sòlit K en un decorregut, en cada punt de la seua superfície apareix una força per unitat de superfície $𝐟$ perpendicular a la superfície en eixe punt i proporcional a la pressió del decorregut p en eixe punt. Si cridem $𝐧=(n_x,n_y,n_z)$ al vector normal a la superfície del cos podem escriure la resultant de les forces $𝐟=-p𝐧$ senzillament per mig del teorema de Stokes de la divergència:

a on l'última igualtat es dona solament si el decorregut és incompresible.