Números de Keith

En el camp de la matemàtica recreativa, els números de Keith (també coneguts en anglés com repfigit numbers (repetitive Fibonacci-like digit)) són els números que es troben en la següent successió sancera:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, ... Plantilla:OEIS 

Els números de Keith varen ser introduïts pel matemàtic nortamericà Mike Keith en 1987. Estos números són, en un sentit computacional, molt difícils de trobar: solament es coneixen uns 100 d'ells i hi ha solament 71 menors de 10¹⁹.

Introducció

Per a determinar si un número sancer positiu N, de n sifres, és un número de Keith, es crea una successió sancera d'estil similar a la de Fibonacci. Esta successió té com a primers térmens els n dígits decimals de N, ordenant-se des del dígit més significatiu. Es continua la successió, a on cada terme és la suma dels anteriors n números. Per definició, N és un número de Keith si N apareix en la seqüència construïda.

Analisant un eixemple:

Considerar el número de 3 dígits N = 197. La seqüència a construir serà:

1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197, 361, ...

S'observa que 197 es troba en la successió. Per tant, s'afirma que 197 és un número de Keith.

Definició

Un número de Keith és un sancer positiu N que apareix com un terme en una relació de recurrencia llineal, en a on els térmens inicials són els seus dígits decimals propis. Donat un número de n dígits

$N=\sum _{i=0}^{n-1}10^i{d}_i,$

Es construïx una successió $S_N$ els térmens inicials del qual són $d_{n-1},d_{n-2},\dots ,d_1,d_0$ (els dígits significatius del número de Keith). Un terme qualsevol de la successió s'obté sumant els previs n números. Si el número N es troba en la successió $S_N$ construïda, s'afirma que N és un número de Keith.

Els números d'un dígit posseïxen la propietat explicada. Són normalment exclosos.