Número refactorisable

Demostrant a través de les barres de Cuisenaire, que 1, 2, 8, 9 i 12 són números refactorizables.

Un número refactorizable o número tau és un número natural n que és divisible pel número de divisorés que té, o, dit de forma algebraica, n és tal que $\tau (n)|n$. Els primers números refactorizables són Plantilla:OEIS 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88 i 96.

Per eixemple, el número 18 té 6 divisores (1, 2, 3, 6, 9 i 18) i és divisible per 6. Hi ha infinits números refactorizables.

Cooper and Kennedy varen demostrar que els números refactorizables són un conjunt de densitat asintòtica zero. Zelinsky va demostrar que no hi ha tres sancers consecutius que siguen refactorizables. Colton va demostrar que cap número perfecte és refactorizable. L'equació mcd(n, x) = τ(n) només admet solucions si n és refactorizable.

Existixen encara qüestions obertes sobre els números refactorizables. Colton ha plantejat la qüestió de si existixen n arbitrariamente grans tals que tant n com a n + 1 són refactorizables. Zelinsky es va preguntar si, donat un número refactorizable $n_0\equiv amodm$, existix necessàriament $n>n_0$ tal que n és refactorizable i $n\equiv amodm$.

Història

Els números tau varen ser definits per primera volta per Curtis Cooper i Robert E. Kennedy els qui varen demostrar que tenien densitat asintòtica zero. Varen ser redescubiertos posteriorment per Simon Colton, que estava usant un programa informàtic que ell mateixa va escriure i que inventava i jujava definicions de numeroses àrees de les matemàtiques tals com la teoria de números i la teoria de grafos. Colton va cridar a estos números "refactorizables". Encara que els ordenadors ya havien realisat demostracions anteriorment, este descobriment va ser una de les primeres voltes que un programa informàtic descobria una idea nova o molt poc coneguda. Colton va demostrar moltes propietats dels números refactorizables. Va establir entre atres coses que eren infinits i va demostrar numeroses restriccions modular en la seua distribució. Només despuix se li va informar de que Kennedy i Cooper ya havien investigat estos números.